Iracionální rovnice
Ahoj, prosím vypočítat tenhle příklad. Děkuji
Odpovědi
Diskuze
nejdříve je zcela esenciální zavést podmínky řešitelnosti. Budu sprostě předpokládat, že chcete rovnici řešit na oboru reálných čísel. V oboru reálných čísel musí platit, že výraz pod odmocninou je vždy nezáporný. Můžeme tedy říct, že
x + 2 >= 0
x >= -2
a současně
x >= 0
Jelikož druhá z těchto podmínek je silnější, stačí nám vycházet pouze z ní. Ekvivalentními úpravami můžeme rovnici převést do tvaru
1 - sqrt(x) = sqrt(x + 2),
kde sqrt(.) vyjadřuje druhou odmocninu z argumentu. Nyní se dopustíme neekvivalentní úpravy umocnění obou stran rovnice. Musíme tedy mít stále na paměti, že pracujeme s x >= 0 a veškeré výsledky, jež po tomto kroku obdržíme, budeme muset na konci celého procesu dosadit do původní rovnice.
1 - 2 * sqrt(x) + x = x + 2
2 * sqrt(x) = -1
sqrt(x) = -1/2
Jelikož odmocnina z reálného argumentu se zobrazuje pouze na nezáporná čísla, je zřejmé, že tato rovnice nemá žádné řešení. Přesto však zkusme provést ještě jednu neekvivalentní úpravu (umocnění obou stran rovnice).
x = 1/4.
Tento výsledek splňuje podmínky řešitelnosti x >= 0. Jelikož jsme však prováděli neekvivalentní úpravy, je nutné tuto hodnotu dosadit do původní rovnice.
L = 3 - sqrt(x + 2)
L = 3 - sqrt(1/4 + 2)
L = 3 - sqrt(9/4)
L = 3 - 3/2
L = 3/2
P = 2 + sqrt(x)
P = 2 + sqrt(1/4)
P = 2 + 1/2
P = 5/2
L != P
Je tedy zřejmé, že 1/4 není kořenem původní rovnice. Zadaná rovnice nemá řešení na oboru reálných čísel.
modře ... odmocnina z "x" (dále jen odm(x) ); v podstatě na bok položená parabola, protože y = x^2, odtud x = odm(y) a převrácená funkce (x<->y) je tedy y = odm(x)
fialově ... 2 + odm(x) je graf odm(x) posunutý o 2 nahoru (ke každému y z výrazu odm(x) jsme přičetli 2)
brčálově zelená ... odm(x+2) je graf odm(x) posunutý o 2 doleva
zelená ... -odm(x+2); podle osy x překlopená odm(x+2), protože ta y, co bylo kladná, jsou po minusu záporná a která byla záporná, jsou po minusu před tou odm(x+2) teď kladná
modro-zelená je -odm(x+2) posunutá o 3 nahoru
-------------------------------------------
Je vidět, že fialová a modro-zelená se nikde neprotínají a tedy neexistuje společný bod ležící na obou křivkách.
Odkaz na zvětšeninu grafu v dalším příspěvku.
pokud bychom trošku rozšířili definici této druhé odmocniny ve smyslu, že např. odm(4) je nejen 2 (2^2 = 4), ale i -2 ( (-2)^2 = 4), tak by 1/4 z řešení @Wydygize bylo řešení. Ve zkoušce by vyšlo:
P = 2 + sqrt(x)
P = 2 + sqrt(1/4)
P = 2 + (-1/2)
P = 3/2
L = P
Toto rozšíření je rozšíření do oboru komplexních čísel, jenže při reálných koeficientech zůstávají i komplexní řešení čistě v reálné ose.