Ontola > Matematika > diskuze
| Nahlásit

matematika - jehlan

Dobrý den,
Délka všech hran pravidelného čtyřbokého jehlanu je 36 cm. Vypočtěte jeho objem a povrch. Jak se změní objem (povrch), zmenšíme-li hrany na polovinu?

Děkuji za odpověď
Témata: matematika

9 reakcí

| Nahlásit
už mi to vychází, akorát si nevím rady s tou doplňující úlohou - nejde mi vypočítat jak se změní povrch,zmenšíme-li hrany na polovinu.

Děkuji za odpověď
(Upr. 31.12.2016 13:13) | Nahlásit
A) objem

a - délka strany podstavy a také je to: a - délka hrany pláště (všechny hrany jsou stejné)
u - úhlopříčka podstavy


u*u=2*a*a

h - výška jehlanu

h*h=a*a-(u/2)*(u/2) = a*a-u*u/4

V=S*h/3
V=a*a*√(a*a-u*u/4)/3

V=a*a*a/√18
==========

a=36 cm

V1=36*36*36/18i@=10996,92466101318709948193151945 cm³

B) povrch

P - plocha podstavy
S∆ - plocha trojúhelníka pláště
Q - plocha pláště

v - výška trojúhelníku v plášti

v*v=a*a-(a/2)*(a/2) = 3/4*a*a

S∆ = základna*výška/2 = a*√(3/4*a*a)/2 =(a*a*√3)/4

P=a*a
Q=4*S∆=a*a*√3

S=P+Q=a*a + a*a*√3 = a*a*(1+√3)

S=a*a*(1+√3)
============

S1=36*36*(1+3i@)=3540,7378466092649724115704585916 cm²
============

C) pro a=36/2=18 cm se změní objem a povrch takto:

V2=18*18*18/18i@=1374,6155826266483874352414399318 cm³
S2=18*18*(1+3i@)=885,1844616523162431028926146479 cm²
========================
| Nahlásit
Děkuji

Chci se ještě zeptat, jak by se to počítalo obecně - bez konkrétních hodnot (myslím v té doplňující části - Jak se změní objem (povrch), zmenšíme-li hrany na polovinu.)
(Upr. 30.12.2016 23:32) | Nahlásit
Takto pro objem:

V1=a1*a1*a1/√2
V2=a2*a2*a2/√2

a2=a1/2

V1=a1*a1*a1/√2
V2=(a1/2)*(a1/2)*(a1/2)/√2=a1*a1*a1/√2/8

Pak platí: V2=V1/8
==================

Takto pro povrch:

S1=a1*a1*(1+√3)
S2=a2*a2*(1+√3)

a2=a1/2

S1=a1*a1*(1+√3)
S2=(a1/2)*(a1/2)*(1+√3)=a1*a1*(1+√3)/4

Pak platí: S2=S1/4
==================
| Nahlásit
jak by to tedy bylo u výpočtu toho povrchu
(Upr. 31.12.2016 13:13) | Nahlásit
odpověď viz výše

---

Zajímavé je také vyšetřit poměry:

V/S=(a*a*a/√18) / (S=a*a*(1+√3)) = a /( √18*(1+√3) )

Z uvedeného je patrné, že s rostoucí velikostí tělesa roste jeho objem rychleji než jeho povrch.
| Nahlásit
Ten příklad :Jak se změní objem (povrch), zmenšíme-li hrany na polovinu řeším pomocí následujících vzorců a pořád mi to nevychází:

Objem:
V=Spo*v/3 = a^2 *v/3


Obsah:

S= Spo + Spl
S= a^2 *4*√3/4*a^2

Děkuji za odpověď
(Upr. 01.01.2017 09:58) | Nahlásit
Pro objem platí: V2=V1/8

Pro povrch platí: S2=S1/4

zde odvozeno:

https://www.ontola.com/cs/di/matematika-jehlan-2

V2/S2=(V1/S1)/2
| Nahlásit
https://www.ontola.com/cs/di/matematika-jehlan-2

Mým postupem je to vypočítané správně, viz odkaz.

Tento vzorec je zcela špatný (plocha je ve 4. mocnině): S= a^2 *4*√3/4*a^2,

správně má vzorec pro povrch vypadat takto:

S=P+Q=a*a + a*a*√3 = a*a*(1+√3)

https://cs.wikipedia.org/wiki/Rovnostrann%C3%BD_troj%C3%BAheln%C3%ADk
 Anonym
Odpovídat lze i bez registrace. Dodržujte pravidla Ontoly
Vložit: Obrázek