Dobrý den,
Délka všech hran pravidelného čtyřbokého jehlanu je 36 cm. Vypočtěte jeho objem a povrch. Jak se změní objem (povrch), zmenšíme-li hrany na polovinu?
Děkuji za odpověď
9 reakcí
už mi to vychází, akorát si nevím rady s tou doplňující úlohou - nejde mi vypočítat jak se změní povrch,zmenšíme-li hrany na polovinu.
Děkuji za odpověď
30.12.2016 22:41 (Upr. 31.12.2016 13:13) |
Nahlásit
A) objem
a - délka strany podstavy a také je to: a - délka hrany pláště (všechny hrany jsou stejné)
u - úhlopříčka podstavy
u*u=2*a*a
h - výška jehlanu
h*h=a*a-(u/2)*(u/2) = a*a-u*u/4
V=S*h/3
V=a*a*√(a*a-u*u/4)/3
V=a*a*a/√18
==========
a=36 cm
V1=36*36*36/18i@=10996,92466101318709948193151945 cm³
B) povrch
P - plocha podstavy
S∆ - plocha trojúhelníka pláště
Q - plocha pláště
v - výška trojúhelníku v plášti
v*v=a*a-(a/2)*(a/2) = 3/4*a*a
S∆ = základna*výška/2 = a*√(3/4*a*a)/2 =(a*a*√3)/4
P=a*a
Q=4*S∆=a*a*√3
S=P+Q=a*a + a*a*√3 = a*a*(1+√3)
S=a*a*(1+√3)
============
S1=36*36*(1+3i@)=3540,7378466092649724115704585916 cm²
============
C) pro a=36/2=18 cm se změní objem a povrch takto:
V2=18*18*18/18i@=1374,6155826266483874352414399318 cm³
S2=18*18*(1+3i@)=885,1844616523162431028926146479 cm²
========================
Děkuji
Chci se ještě zeptat, jak by se to počítalo obecně - bez konkrétních hodnot (myslím v té doplňující části - Jak se změní objem (povrch), zmenšíme-li hrany na polovinu.)
30.12.2016 23:14 (Upr. 30.12.2016 23:32) |
Nahlásit
Takto pro objem:
V1=a1*a1*a1/√2
V2=a2*a2*a2/√2
a2=a1/2
V1=a1*a1*a1/√2
V2=(a1/2)*(a1/2)*(a1/2)/√2=a1*a1*a1/√2/8
Pak platí: V2=V1/8
==================
Takto pro povrch:
S1=a1*a1*(1+√3)
S2=a2*a2*(1+√3)
a2=a1/2
S1=a1*a1*(1+√3)
S2=(a1/2)*(a1/2)*(1+√3)=a1*a1*(1+√3)/4
Pak platí: S2=S1/4
==================
jak by to tedy bylo u výpočtu toho povrchu
30.12.2016 23:47 (Upr. 31.12.2016 13:13) |
Nahlásit
odpověď viz výše
---
Zajímavé je také vyšetřit poměry:
V/S=(a*a*a/√18) / (S=a*a*(1+√3)) = a /( √18*(1+√3) )
Z uvedeného je patrné, že s rostoucí velikostí tělesa roste jeho objem rychleji než jeho povrch.
Ten příklad :Jak se změní objem (povrch), zmenšíme-li hrany na polovinu řeším pomocí následujících vzorců a pořád mi to nevychází:
Objem:
V=Spo*v/3 = a^2 *v/3
Obsah:
S= Spo + Spl
S= a^2 *4*√3/4*a^2
Děkuji za odpověď
