Diferenciální rovnice

Frenc4527.12.2013 16:06 Nahlásit
Dobrý den, nevím si rady dif. rovnicemi jedná se o rovnice: y^4-z^2=12 e^x

a dále 4x^3y dx+(2xy-3)dy=0

Odpovědi

Přidat odpověď ▾

Diskuze

Cenobita.27.12.2013 16:39 Nahlásit
a je to opravdu parciální diferenciální rovnice ?

y^(4)-z^(2)=12*e^x
Cenobita.27.12.2013 16:41 Nahlásit
z tohoto zápisu není jasně co je diferenciál a co exponent:

4x^3y dx+(2xy-3)dy=0
Cenobita.27.12.2013 22:58 (Upr. 27.12.2013 23:43) Nahlásit
Teorie: "Exaktní diferenciální rovnice"

Rovnice, kterou je možno vyjádřit ve tvaru:

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, rovnice (1)

kde levá strana je totální diferenciál některé funkce F(x,y) v oblasti D, se nazývá exaktní diferenciální rovnice.

Je-li D jednoduše souvislá oblast, pak nutná a postačující podmínka k tomu je, aby:

∂P/∂y = ∂Q/∂x, v oblasti D.

Obecný integrál rovnice (1) je dán rovnicí:

F(x,y)=C

Funkci F(x,y) najdeme z podmínky: dF(x,y) = ∂F/∂x * dx + ∂F/∂y * dy

---

Není-li rovnice (1) exaktní, když je totiž:

∂P/∂y ≠ ∂Q/∂x, řeší se to takto:

Není-li rovnice exaktní, hledáme takovou funkci m(x,y)≠0, aby rovnice:

m(x,y)*P(x,y)*dx + m(x,y)*Q(x,y)*dy = 0,

byla exaktní.

Funkce m(x,y) se nazývá integrující faktor rovnice (1)

Úloha najít takový integrující faktor je v obecném případě obtížná.

Často je však možno najít integrující faktor m jako funkci proměnné x nebo jako funkci proměnné y.

Pak najdeme integrující faktor řešením rovnic:

dm/m = 1/Q*(∂P/∂y - ∂Q/∂x)dx, potom m=m(x)
dm/m =-1/P*(∂P/∂y - ∂Q/∂x)dy, potom m=m(y)
Přidat komentář do diskuze ▾