Vysvětlení goniometrických funkcí sin, cos, tg
Jsem totálně zoufalá.. V pátek mám důležitou písemku z matematiky kterou prostě nemůžu zvorat..Potřebuju poradit.. A jednoduše vysvětlit goniometrické funkce.. Doopravdy už nevím jak dál..celý týden jsem ted doma sama a nikdo mi to vysvětlit nemůže.. :( Hrozně by mi to pomohlo.. Prostě jen Sin,Cos,Tg.. Jsem asi fakt hodně v háji.. :( Nám do toho učitelka hrozně zamotá například objemy a povrchy..a pak se totálně stratím :(..
Odpovědi
Diskuze
sin - protilehlá stran k přeponě; cos - přilehlá strana k přeponě
tg = protilehlá strana k přilehlé straně; cotg - přilehlá k protilehlé.
Mějme pravoúhlý trojúhelník ABC. Proti každému vrcholu je stana, označená stejným, ale malým písmenem, a úhly A - α, B-β; c - γ je pravý úhel. Platí: α + β = 90°.
sinα = a/c; cosα = b/c tgα = a/b cotgα = b/a
sinα/cosα = (a/c)/(b/c) = a/b = tgα; tgα = 1/cotgα
sinα = cosβ protože cosβ = a/c, stejně jako sinα
sinα = cos(90-α) - sinus α je rovný kosinu doplňkového úhlu.
Pythagorova věta:
a^2 + b^2 = c^2 => a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 = (a/c)^2 + (b/c)^2 = 1 =>
=> sin^2(α) + sin^2(β) = 1.
Tohle jsi měla na mysli?
b/c=cos(α)=sin(β)
a/b=tan(α)
b/a=tan(β)
a=7cm
β=38°
b=a*tan(β)=7*tan(38°)
=====================
c=b/sin(β)=a*tan(β)/sin(β)=7*tan(38°)/sin(38°)
c=a*tan(β)/sin(β)=7*tan(38°)/sin(38°)
c=a*tan(β)/sin(β)=a/cos(β)=7/cos(38°)
==============================================
sin = protilehlá / přepona
cos = přilehlá / přepona
tg = protilehlá / přilehlá
jako říkanku :-)
A v každém zadání se pak jen zeptáš: čím je ta strana, kterou znám, vzhledem k tomu úhlu, který znám?
Až si odpovíš vybereš kteroukoli další stranu (kterou chceš spočítat) a z těchto dvou ti jasně vyjde, která funkce na to "platí".
Ten tvůj příklad (viz obrázek):
Když těch 7 cm bude mít strana b, je k betě protilehlou odvěsnou, takže třeba pomocí tg spočítáš přilehlou odvěsnu, stranu a: tg(38°) = 0.781 = b/a = 7/a, z toho a = 7/0.781 = 8.96
Kdyby těch 7 cm měla třeba přepona c, vypadá to na sin (pro výpočet protilehlé odvěsny b) nebo cos (pro výpočet přilehlé odvěsny). Např:
sin(38°) = 0.616 = b/c = b/7, z toho b = 7 * 0.616 = 4.31
Když takhle spočítáš dvě strany, můžeš třetí dopočítat Pythagorovkou. Nebo (lépe) spočítat přes sin/cos/tg všechny tři strany a Pythagorovku použít jako kontrolu.
Nikde totiž není zaručeno co je v trojúhelníku "a" a co je "c" – že se ve škole trojúhelník "vždycky" popisuje takhle (nějak), je houby platný. Nikdo ti nezaručí, že v příkladu v nějakém testu do udělají stejně. Nemluvě o tom, že tam může vybafnout trojúhelník RST nebo AQW :-)
Jediný rozumný přístup je pracovat s pojmy, které samy o sobě něco znamenají – co je přilehlá, protilehlá nebo přepona je jasné vždycky, i kdyby ten trojúhelník nebyl popsaný vůbec. A dá se to zapamatovat.
Takže zapomeň na a, b, c a nauč se říkanky s popisnými pojmy (na ty písmenka to v případě potřeby převedeš vždycky).