Obsah rotační plochy kolem osy x
Dobrý den, mám dotaz, počítam obsah rotacni plochy kolem osy x. Zadání je x=5cos^3t, y=5sin^3t, t patrí ( 0,pi/2) došla
Předem děkuji za vysvětlení. :)
Předem děkuji za vysvětlení. :)
Odpovědi
Diskuze
x=5cos^3t, y=5sin^3t;t=( 0,pi/2)
www.wolframalpha.com/input/?i=x%3D5cos%5E3t%2C+y%3D5sin%5E3t%3Bt%3D%28+0%2Cpi%2F2%29
2. plocha je symetrická, takže je jedno zda bude rotovat kolem x nebo kolem y,
pro výpočet si zvolím rotaci kolem osy x
3. sestavím integrál:
y - je poloměr infinitezimálního elementu na souřadnici x
ds - je délka elementu
ds^2=dx^2+dy^2
S=∫dS = ∫ 2π*y*ds (integrovat budu od 0 do Pi/2)
x=5cos^3t
y=5sin^3t
dx=15*cos^2t*(-sin t)*dt
dy=15*sin^2t*(cos t)*dt
dx*dx=225*sin^2t*cos^4t*dt*dt
dy*dy=225*sin^4t*cos^2t*dt*dt
ds*ds=dx*dx+dy*dy
ds*ds=225*(cos^2t*cos^4t + sin^4t*cos^2t)*dt*dt
ds*ds=225*cos^2t*(sin^4t + cos^4t)*dt*dt
ds=15*(cos t)*√(sin^4t + cos^4t)*dt
a teď zpět k integrálu
S=∫dS = ∫ 2π*y*ds (integrovat budu od 0 do Pi/2)
S=30*π * ∫ 5*sin^3t*(cos t)*√(sin^4t + cos^4t)*dt
... no a teď by se to mělo integrovat, vůbec nevím zda to snadno jde:
S=150*π * ∫ sin^3t*(cos t)*√(sin^4t + cos^4t)*dt
a při dosazení mezí:
t:(integrovat budu od 0 do Pi/2)
... by měla vyjít plocha.
parametric plot (5cos^3t, 5sin^3t)
www.wolframalpha.com/input/?i=parametric+plot+%285cos%5E3t%2C+5sin%5E3t%29
matematika.cuni.cz/dl/analyza/maple/04-fun/krivka-asteroida/krivka-asteroida1.html