Stereometrie - vzdálenost bodu od přímky
Dobrý den,narazila sem při počítání na tento příklad a nejde mi vypočítat.
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, AB = 4 cm a v=6 cm, máme vypočítat vzdálenost bodu S(CV) od přímky AV
Předem děkuji za pomoc :)
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, AB = 4 cm a v=6 cm, máme vypočítat vzdálenost bodu S(CV) od přímky AV
Předem děkuji za pomoc :)
Odpovědi
Diskuze
A[2,2,0]
B[-2,2,0]
C[-2,-2,0]
D[2,-2,0]
V[0,0,6]
2a. Najdeme bod S (bez důkazu) - jsou to střed souřadnic vrcholu V a bodu C proto je dělím dvěma:
S[-1,-1,3]
==========
2b) nebo s důkazem pomocí vektoru CV a přímky s ním totožné:
vektor CV=V-C=V[0,0,6]-C[-2,-2,0]=CV[2,2,6]
c[x,y,z]=CV[2,2,6]*t+C[-2,-2,0] (parametrická rovnice přímky c totožné s hranou CV)
c[x,y,z]=CV[2,2,6]*(1/2)+C[-2,-2,0] (parametr t=1/2 je střed úsečky CV)
S[-1,-1,3]=CV[2,2,6]*(1/2)+C[-2,-2,0] (bod S)
S[-1,-1,3] (bod S)
==========
3. vektor AV=V-A=V[0,0,6]-A[2,2,0]=AV[-2,-2,6]
nebo
a když známe bod S a vektor AV, můžeme řešit vzdálenost bodu S od úsečky AV:
a[x,y,z]=AV[-2,-2,6]*t+A[2,2,0] (parametrická rovnice přímky a totožné s hranou AV)
parametrický tvar polohového vektoru (parametr je t):
x=[-2]*t+[2]
y=[-2]*t+[2]
z=[6]*t+[0]
4. Nejlepší metoda bude sestrojit rovinu kolmou na úsečku AC (ale neznáme bod kde tak ji sestrojíme parametricky a budeme hledat kdy bude bod S ležet v rovině)
5. obecná rovnice roviny:
ax+by+cz+d=0
n[a,b,c]= - normálový vektor známe to je vektor n=AV[-2,-2,6]
dosadíme do roviny:
(-2)x+(-2)y+(6)z+d=0
bod S[-1,-1,3]
-2*(-1)-2*(-1)+6*(3)+d=0
-2*(-1)-2*(-1)+6*(3)=-d
-1*(-2*(-1)-2*(-1)+6*(3))=d
d=-22
====
6. nyní známe rovnici roviny: -2x-2y+6z-22=0
7. zjistíme, kde rovina: -2x-2y+6z-22=0; protíná přímku danou úsečkou AV:
x=[-2]*t+[2]
y=[-2]*t+[2]
z=[6]*t+[0]
-2(-2*t+2)-2(-2*t+2)+6(6*t+0)-22=0
(4*t-4)+(4*t-4)+(36*t)-22=0
44*t=30
t=30/44
t=15/22
=======
A z toho vyplyne bod X:
x=[-2]*(15/22)+[2]=-15/11+2=-15/11+22/11=7/11
y=[-2]*(15/22)+[2]=-15/11+2=-15/11+22/11=7/11
z=[6]*(15/22)+[0]=45/11
X[7/11,7/11,45/11]
8. a poslední je zjistit vzdálenost bodů X a S
SX=X-S=X[7/11,7/11,45/11] - S[-1,-1,3]
SX=X-S=X[18/11,18/11,12/11]
modul vektoru:
|SX|*|SX|=18/11*18/11 + 18/11*18/11 + 12/11*12/11=
|SX|*|SX|=6,5454545454545454545454545454545
Toto je ta vzdálenost bosu S od přímky dané úsečkou AV:
|SX|=2,5584085962673252115812527892061 cm
======================================