Rovnice tečny k parabole
Prosím o vysvětlení příkladu:
Napište rovnici tečny k parabole dané rovnicí x^2 - 8x - 2y + 14 = 0, která je rovnoběžná s přímkou 2x + y + 3 = 0
Děkuji
Napište rovnici tečny k parabole dané rovnicí x^2 - 8x - 2y + 14 = 0, která je rovnoběžná s přímkou 2x + y + 3 = 0
Děkuji
Odpovědi
Diskuze
y = 1/2*x^2 - 4x + 7
k1 = dy/dx = 2/2*x - 4; směrnice tečny k parabole
přímka:
2x + y + 3 = 0
y = -2x - 3
směrnice přímky:
y = -2x - 3
k2 = dy/dx = -2
nyní porovnáme směrnice:
k1=k2
x - 4 = -2
x = +2
======
dosadíme do rovnice paraboly a získáme bod paraboly, kterým prochází přímka:
y = 1/2*x^2 - 4x + 7
y = 1/2*2^2 - 4*2 + 7 = 2 - 8 + 7 = 1
bod dotyku: X[2,1]
směrnici přímky/tečny k parabola:
k1 = dy/dx = 2/2*x - 4; směrnice tečny k parabole
k1 = 2/2*2 - 4=-2
když známe bod X[2,1] a směrnici přímky k1=-2
můžeme sestavit přímku:
y=kx+q; obecná rovnice přímky
y=k1*x+q
1=-2*2+q
můžeme vypočítat quocient q=5
rovnice tečny k parabole:
y=-2*x+5
========
Díky rovnoběžnosti s danou přímkou bude mít hledaná tečna rovnici
2x + y = a,
kde a je zatím neznámé reálné číslo; přitom soustava této rovnice a rovnice paraboly musí mít jediné řešení. Dosazením za y do rovnice paraboly z rovnice přímky dostaneme kvadratickou rovnici
0 = x^2 - 8x - 2(a - 2x) + 14 = x^2 - 4x + 14 - 2a,
jejíž diskriminant musí být nulový:
0 = 16 - 4.(14 - 2a) = 8a - 40,
takže a = 5 a hledaná tečna má proto rovnici
2x + y = 5.
Navíc moje řešení používá diferenciální počet, takže je na vyšší úrovni, než tvoje středoškolské počty :-)