| Nahlásit

Matematika - řady

„Nekonečná“ spirála se skládá z polokružnic, poloměr první polokružnice je 6 cm, poloměr každé další polokružnice jet třikrát menší než poloměr polokružnice předcházející. Vypočítejte délku spirály.
Témata: matematika
Diskuze
| Nahlásit
Uvědom si, že délky jednotlivých polokružnic tvoří geometrickou posloupnost. Pak už je to hračka.
| Nahlásit
di doprdele
(Upr. 02.11.2020 23:16) | Nahlásit
@Anonym Kypeteg

Pěkný večer přeji. Pokud vás rozčílilo, že jste nenašel řešení, zkusím vám poradit, jak se s úlohou vypořádat.

Sestavíme si posloupnost a: N -> R, která bude mít následující předpis:

a(n)[n = 1 -> ∞] = 6*pi*1/(3^(n-1))

Vysvěleme si, jak jsme danou posloupnost získali. Víme, že spirála se skládá z polokružnic. Největší z nich má poloměr r = 6cm, tedy její délka je r*pi [cm] = 6*pi cm.
Každá další polokružnice má třikrát menší poloměr, tedy délky jednotlivých polokružnic tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem q = 1/3.
Jelikož |q| < 1, lze najít součet všech prvků této geometrické posloupnosti.

s = (a(1)/(1 - q)) = 6*pi / (1 - 1/3) = 6*pi / (2/3) = 9*pi.

Délka spirály činí 9*pi cm.

Pokud vám bude ještě něco nejasné, klidně se ozvěte. Přeji příjemný zbytek večera.
| Nahlásit
Tleskám! :D
| Nahlásit
Jak muze mit nekonecna spirala konecnou delku?
(Upr. 03.05. 18:27) | Nahlásit
Přeji pěkné odpoledne, Anonyme Kepuxagu,

zkuste si vyhledat něco o Zenonových aporiích, toto je velmi podobný princip. Podobně se totiž můžeme ptát, jak je možné, že jsme schopni cestovat z bodu A do bodu B, když je nutné nejprve urazit polovinu této cesty, potom polovinu ze zbylé poloviny, dále polovinu ze zbylé čtvrtiny a tak dále, tedy jsme nuceni překonat nekonečné množství stále se zkracujících úseků této cesty, což se zdá být zcela nemožné.

Při práci se spočetným nekonečnem (zde například součet spočetně mnoha délek polokružnic) obyčejný selský rozum většinou zcela selhává a je nutné uplatnit přísně matematický přístup. Dle něj je spirála sice složena z nekonečného množství (spočetné nekonečno) polokružnic, ale přesto má konečnou délku, ať se to může zdát jakkoliv neintuitivní. Vyplývá to z teorie o geometrických posloupnostech a limitách posloupností.

Závěrem to tedy shrnu takto: Je dobré si pamatovat, že při práci se spočetným nekonečnem nemá cenu používat přeceňovaný selský rozum nebo si cokoliv vztahovat k praktickému životu a naší žité skutečnosti.
 Anonym
Odpovídat lze i bez registrace. Dodržujte pravidla Ontoly
Vložit: Obrázek