Uveďte příklad funkce
Ahoj, prosím o pomoc. V testu jsme měli zadání: Uveďte příklady funkcí s následujícími podmínkami:
1. f(x) ≤ 3 ; graf funkce f protíná osu x dvakrát
2. f'(x) (derivace) = e^x ; f(0)=0
3. Definiční obor funkce f jsou všechna realná čísla kromě ±1
4. Asymptota pro x → ∞ je přímka y=1
K té 1. jsem si myslel, že by tam mohlo být něco jako x^2-2, jenomže to po dosazení nějakého většího čísla nesplňuje tu podmínku..
No a tu 2. by mohla splňovat třeba funkce e^x-1 ?
Jinak fakt nevím.
Pokud by mi někdo poradil, hodně by mi to pomohlo, díky moc
1. f(x) ≤ 3 ; graf funkce f protíná osu x dvakrát
2. f'(x) (derivace) = e^x ; f(0)=0
3. Definiční obor funkce f jsou všechna realná čísla kromě ±1
4. Asymptota pro x → ∞ je přímka y=1
K té 1. jsem si myslel, že by tam mohlo být něco jako x^2-2, jenomže to po dosazení nějakého většího čísla nesplňuje tu podmínku..
No a tu 2. by mohla splňovat třeba funkce e^x-1 ?
Jinak fakt nevím.
Pokud by mi někdo poradil, hodně by mi to pomohlo, díky moc
Odpovědi
Diskuze
vezmu to odspodu.
4. Pokud má být asymptota pro x → ∞ přímka y=1, pak jednoduše využijte nějakou elementární funkci, která má pro x → ∞ asymptotu s přímkou y=1 rovnoběžnou, a tuto funkci vhodně posuňte. Doporučuji využít třeba funkci, jejímž grafem je hyperbola. Víte, o jaké mluvím?
3. Pokud májí být definičním oborem všechna reálná čísla kromě dvou, postupujde následovně:
- najděte funkci g, jež je definovaná pro všechna reálná čísla, tedy jejím definičním oborem je množina R
- najděte funkci h, jež je definovaná pro všechna reálná čísla a jejíž funkční hodnota je rovna 0 pouze v bodě +1 a -1. Dobře vám poslouží třeba nějaká kvadratická funkce
- vytvořte funkci f(x) jako podíl funkcí g(x) a h(x)
Je zřejmé, proč bude tato funkce splňovat vaše požadavky? Napište mi, jak tomu rozumíte.
2. Tohle nemůžete jen tak hádat s tím, že by to mohla splňovat třeba nějaká funkce. Máte zadanou diferenciální rovnici prvního řádu s Cauchyho počáteční podmínkou následovně:
f'(x) = e^x
f(0) = 0
Tu smysluplně vyřešte:
f(x) = e^x + C, kde C ∈ R, tedy je to v tuto chvíli neznámá konstanta z R
Musí být ale splněna podmínka f(0) = 0, tedy
f(0) = e^0 + C
0 = 1 + C
C = -1,
tedy vaše zadání splňuje pouze a jenom funkce e^x - 1.
1. Tím f(x) ≤ 3 myslíte, že funkce je shora omezená konstantou 3? Pokud ano, pak opravdu nemůžete jen tak použít kvadratickou funkci s kladným kvadratickým členem v jejím předpisu, protože je zřejmé, že ta shora omezená není. Zkuste to znovu, tentokrát ale použijte záporný kvadratický člen a napište mi novou odpověď.
opět tedy odspodu:
4. Bude tedy lomená funkce posunutá o 1. Splňuje to tedy funkce (1/x)+1
3. Funkce definovaná pro všechna R je např. x^2
Funkce definovaná pro všechna R, jejíž funkční hodnota je rovna nule v bodě ±1 je x^2-1
Funkce splňující podmínku č.3 bude tedy funkce x^2/x^2-1 , jelikož po dosazení ±1 vychází nesmysl, takže v těchto bodech není funkce definována. Správně?
2. Tu dvojku jsem odhadl kvůli pravidlu, že (e^x)' je e^x, takže graf této funkce bude vypadat stejně, jen musí být posunutý tak, aby funkce procházela bodem (0,0)
1. Toto jsem nedomyslel, parabola musí být převrácená. Obě podmínky z bodu 1 tedy splňuje například funkce -x^2+2 . Absolutní člen může být jakékoliv R z intervalu (0;3⟩. Chápu to správně?
jsem rád, že jste se znovu ozval a že se vám povedlo vše bezchybně vyřešit. Ano, všechno je přesně tak, jak říkáte. Gratuluji tedy a přeji krásný den.