Příklady na vektory
Pomohl by mi někdo prosím vypočítat a vysvětlit pár příkladů? Všechny by se měly řešit nějak podle vektorů. Předem děkuji.
1) Jsou dány body A(11, -3, -2), B(-7, -3, -2), C(-7,-3, 3), D(6, -3, 3).
a) Dokažte, že ABCD je lichoběžník.
b) Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů lichoběžníku ABCD.
2) Je dán trojúhelník ABC: A(-5, -6), B(11, 2), C(3,4).
a) Napište parametrické rovnice všech těžnic trojúh. ABC
b) Dokažte, že se těžnice protínají v jediném bodě a určete jeho souřadnice.
c) Určete obsah trojúh. ABC
3) Vypočítejte vzdálenost bodu A(1,3) od přímky: x = 1 - 3t
y = - 2 + 4t
t = reálné číslo
b) Vypočítejte souřadnice bodu A´ osově souměrného s bodem A dle zadané přímky.
1) Jsou dány body A(11, -3, -2), B(-7, -3, -2), C(-7,-3, 3), D(6, -3, 3).
a) Dokažte, že ABCD je lichoběžník.
b) Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů lichoběžníku ABCD.
2) Je dán trojúhelník ABC: A(-5, -6), B(11, 2), C(3,4).
a) Napište parametrické rovnice všech těžnic trojúh. ABC
b) Dokažte, že se těžnice protínají v jediném bodě a určete jeho souřadnice.
c) Určete obsah trojúh. ABC
3) Vypočítejte vzdálenost bodu A(1,3) od přímky: x = 1 - 3t
y = - 2 + 4t
t = reálné číslo
b) Vypočítejte souřadnice bodu A´ osově souměrného s bodem A dle zadané přímky.
Odpovědi
Diskuze
Aby se jednalo o lichoběžník, musí body ležet ve stejné rovině.
Navíc musí být dvě libovolné přímky sestrojené ze zadaných bodů rovnoběžné.
Hledáme takové dvě přímky, které budou rovnoběžné.
Nejspíš to budou AB a CD.
Hledáme vzdálenost bodu A od parametricky zadané přímky p.
Snažíme se najít takový bod P na přímce p, aby byl patou kolmice
spuštěné z bodu A na přímku p.
Nebo jinak řečeno: hledáme normálový vektor přímky p,
který prochází bodem A.
Tento normálový vektor můžeme napsat :
n(P–A) ; n[(1–3t) – 1 ; (–2+4t) – 3]
Kde za rozdíl (P – A) jsme dosadili pro P z parametrické rovnice
přímky a za A souřadnice bodu A.
A využijeme znalosti, že skalární součin dvou vektorů je roven
nule právě tehdy, jsou-li vektory na sebe kolmé.
u(–3 ; 4) je směrový vektor přímky p.
Řešíme rovnici:
(P – A)*u = 0 ; [(1–3t) – 1 ; (–2+4t) – 3]*(–3;4) = 0
(–3)*[(1–3t) – 1] + 4*[(–2+4t) – 3] = 0
(–3)*(–3t) + 4*(–5+4t) = 0
9t + (–20)+16t = 0
t = 20/25 ; t = 0,8
Tedy bod P leží na přímce p a pro parametr t=0,8
vypočteme jeho souřadnice.
P(1–3*0,8 ; (–2)+4*0,8) ; P(–1,4 ; 1,2)
Vzdálenost bodu A od přímky p je tedy vzdálenost bodů P a A
nebo délka úsečky |AP|
Pro vzdálenost dvou bodů platí : |AP| = √[ (1–(–1,4))^2 + (3–1,2)^2]
|P| = √[ 2,4^2 + 1,8^2] = √[ 5,76 + 3,24] = √9 = 3
Hledaná vzdálenost bodu A od přímky p je : |AP| = 3
Těžnice je spojnice vrcholu a středu protější strany.
Např. "ta" je těžnice z bodu A na střed strany BC
S(AB) je střed strany AB
Nejdříve vypočteme souřadnice středů stran.
S(AB)x = (Ax + Bx)/2 = (–5+11)/2 = 3
S(AB)y = (Ay + By)/2 = (–6+2)/2 = –2
S(AB) (3 ; –2)
S(AC)x = (Ax + Cx)/2 = (–5+3)/2 = –1
S(AC)y = (Ay + Cy)/2 = (–6+4)/2 = –1
S(AC) (–1 ; –1)
S(BC)x = (Bx + Cx)/2 = (11+3)/2 = 7
S(BC)y = (By + Cy)/2 = (2+4)/2 = 3
S(BC) (7 ; 3)
Napíšeme rovnice těžnic kde "u ; v ; w" jsou směrové vektory těžnic
ta(A;u) ; u(S(BC) – A) ; u [(7–(–5)) ; (3 – (–6))] ; u(12 ; 9)
ta: x = –5 + 12t ; y = –6 + 9t ; Obecný tvar : 3x – 4y – 9 = 0
tb(B;v) ; v(S(AC) – B) ; v[(–1–11) ; (–1 – 2)] ; v(–12 ; –3)
tb: x = 11 – 12k ; y = 2 – 3k ; Obecný tvar : x – 4y – 3 = 0
tc(C;w) ; w(S(AB) – C) ; w[(3 – 3) ; ((–2) – 4)] ; w(0 ; –6)
tc: x = 3 + 0s ; y = 4 – 6s
Obecný tvar : 1*x + 0*y – 3 = 0 ; x = 3
Pokud se mají těžnice protínat v jednom bodě (těžišti),
pak musí platit, že následující soustava tří rovnic pro dvě neznámé
(x ; y ) má jen jedno řešení.
Výhodně použijeme obecné tvary rovnic všech těžnic.
3x – 4y – 9 = 0 ; x – 4y – 3 = 0 ; x = 3
3*3 – 4*y – 9 = 0 ; y = 0 To je výsledek po dosazení x=3 do ta
3 – 4*y – 3 = 0 ; y = 0 To je výsledek po dosazení x=3 do tb
Soustava má jen jedno řešení : [x ; y] = (3 ; 0)
Pak souřadnice těžiště : T(3 ; 0)
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Pro určení obsahu (plochy) trojúhelníka musíme určit nějakou výšku.
Rovnice přímky "p" procházející body AB : p(A;a)
kde "a" je směrový vektor přímky "p"
a(B–A) ; a[(11–(–5) ; (2 – (–6))] ; a(16 ; 8)
p: x = –5 + 16h ; y = –6 + 8h
Výška (kolmice z bodu C) na stranu AB má patu kolmice bod P:
Hledáme skalární součin (vektor výšky * vektor strany) = 0
Protože skalární součin dvou vektorů je nula, když jsou vektory na sebe kolmé.
(C – P) *a = 0
[(3 – (–5 + 16h)) ; (4 –(–6 + 8h))] * (16 ; 8)= 0
[(8 + 16h) ; 10+ 8h] * (16 ; 8) = 0
Hledáme hodnotu parametru "h", aby jím byl určen bod P
po dosazení do parametrické rovnice přímky AB.
8*16 + 16*16h + 10*8 + 8*8h = 0
208 + 320h = 0 ; h = 208/320 ; h = 0,65
Vypočítáme souřadnice paty kolmice (výšky) na stranu AB,
tedy souřadnice bodu P.
x = –5 + 0,65*16 = 5,4
y = -6+0,65*8 = -0,8
P(5,4 ; –0,8)
Plocha trojúhelníka je : základna * výška / 2
Základna |AB| = √(16^2 + 8^2) = √(256+64) = √320 = 17,88
Výška "va" = |CP| na stranu AB
|CP| =√[(3 – 5,41)^2 + (4 – (–0,8))^2]
|CP| = √[( – 2,41)^2 + 4,8^2]
|CP| = √[5,8081+23,04]
|CP| = √28,8481
|CP| = 5,37 ; |AB| = 17,88
Obsah (plocha) Q trojúhelníka ABC je :
Q = |CP|*|AB| / 2 = 5,37*17,88 / 2 = 48
Q = 48 jednotek, v jakých jsou souřadnice bodů.
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Pro určení obsahu (plochy) trojúhelníka ABC je možno využít
vlastnosti vektorového součinu.
m = a × b ; kde |m| = |a| * |b| * sin(α)
kde α je úhel mezi vektory a,b.
|m| je velikost plochy rovnoběžníka,
to je ale dvojnásobná plocha trojúhelníka ABC.
cos(α) = a*b /(|a|*|b|)
a(16;8) ; b(C – A) ; b[(3 – (–5)) ; (4 – (–6))] ; b(8;10)
|a| = √(16^2 + 8^2) ; |a| = √(256+64) |a| = √320 ; |a| = 17,88
|b| = √(8^2 + 10^2) ; |b| = √(64+100) |b| = √164 ; |b| = 12,81
cos(α) = a*b /(|a|*|b|)
cos(α) = (16;8)*(8;10)/(√320 * √164)
cos(α) = (128+80)/(√320 * √164)
cos(α) = 208/(√320 * √164) ; cos(α) = 0,908
sin(α) = 0,419
|m| = √320 * √164 *0,419 ; |m| = 96
Obsah (plocha) trojúhelníka ABC :
Q = |m| / 2 = 96/2 = 48 jednotek, v jakých jsou souřadnice bodů.
benda.josef1@seznam.cz