Diferenciální rovnice
Pěkný den, prosím o postup výpočtu tohoto příkladu (zadání přikládám jako přílohu).
Odpovědi
Diskuze
Uvažme nádobu, ze které odtokem na dně vytéká voda. Závislost objemu zbývající vody V v nádobě na čase t lze popsat diferenciální rovnicí: dV/dt = -k*√V , kde k je kladná konstanta. Určete, kdy dojde k vyprázdnění celé nádoby, pokud na začátku (t=0) obsahuje 30 litrů vody a rychlost odtoku je v tuto dobu 1,8 l/min, tj. platí: dV/dt (t=0) = -1,8
dV/dt (t=0) = -1,8
-k*√V = -1,8 litrů/min
V=30 litrů
k = 1,8/√(30)
---
dV/dt = -k*√V
dV/√V = -k*dt
dV*(V)^(-1/2) = -k*dt
t0=0
V0=30 litrů
integrace, neurčitý integrál:
(V)^(+1/2) = -k*t + C
integrace, určitý integrál:
[ (V)^(+1/2) ] - [ (V0)^(+1/2) ] = [ -k*t ] - [ -k*t0 ]
[ (V)^(+1/2) ] - [ (30)^(+1/2) ] = [ -k*t ]
[ (V)^(+1/2) ] - [ (30)^(+1/2) ] = [ -(1,8/√(30))*t ]
V=0 t=?; v čase t dojde k vyprázdnění
[ (0)^(+1/2) ] - [ (30)^(+1/2) ] = [ -(1,8/√(30))*t ]
(30)^(+1/2) = (1,8/√(30))*t
(30)^(+1/2)*√(30) / 1,8 = t
(30) / 1,8 = t
t=16,666666666666666666666666666667 minut = 16 minut + 2/3 min = 16 min + 40 sec
===