Maturitný príklad z pravdepodobnosti
Peter a Dušan hrali nasledujúcu hru. Vybrali náhodne 3 loptičky z vrecúška, v ktorom bolo 6 modrých a 4 zelené loptičky. Peter vyhral vtedy, ak sa vytiahlo viac modrych. Dušan vtedy keď sa vytiahlo viac zelených. Koľkokrát väčšiu pravdepodobnosť výhry mal Peter ako Dušan?
Odpovědi
Diskuze
Náhodné jevy:
Jev D = vyhrává Dušan
Jev P = vyhrává Petr
Náhodné proměnné:
M = počet modrých ve třech tazích (bez vracení)
Z = počet zelených ve třech tazích (bez vracení)
Spočítat pravděpodobnosti:
P( D ) = P(M = 0, Z = 3) + P(M = 1, Z = 4) = ...
P( P ) = P(M = 0, Z = 3) + P(M = 1, Z = 4) = ...
Spočítat výsledek:
Poměr = P( P ) / P( D ) = ...
Dílčí pravděpodobnosti spočítat zřejmě podle vzorečku hypergeometrického rozložení pravděpodobnosti:
https://cs.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrick%C3%A9_rozd%C4%9Blen%C3%AD
https://www.wolframalpha.com/input/?i=hypergeometric+distribution+for+3%2C+6%2C10
(nebo i "přímým" výpočtem.)
Spočítat pravděpodobnosti:
P( D ) = P(M = 0, Z = 3) + P(M = 1, Z = 2) = ...
P( P ) = P(M = 2, Z = 1) + P(M = 3, Z = 0) = ...
m z V P
------------------
0 3 D 1/30
1 2 D 3/10
2 1 P 1/2
3 0 P 1/6
P( D ) = 1/30 + 3/10 = 1/3
P( P ) = 1/2 + 1/6 = 2/3
-> Poměr = 2
K tomu "ruční" výpočty:
0 3: 4/10 * 3/9 * 2/8 = 1/30
1 2: (6/10 * 4/9 * 3/8) * 3 = 3/10
2 1: (6/10 * 5/9 * 4/8) * 3 = 1/2
3 0: 6/10 * 5/9 * 4/8 = 1/6