Zdarvím, potřebovala bych poradit s jedním příkladem do planimetrie,vůbec na to nemůžů přijít.
Pole má tvar obdelníku a má obvod 84 m. Vzdálenost jejich nejvzdálenějších vrcholů je 30 m. Jaké jsou rozměry pole?
Děkuju vám:)
Pochopila bych to tak, že úhlopříčkou toho pole tvaru obdélníku je ten rozměr 30 m.
Ze zadání víš:
2a+2b=84
a^2+b^2=30^2
---------------
a+b=42 => a=42-b
(42-b)^2+b^2=900
1764-84b+b^2+b^2=900
2b^2-84b+864=0
b^2-42b+432=0
b_(1,2)=(42±√(1764-1728))/2=(42±6)/2
b_1=24 a_1=18
b_2=18 a_2=24
Rozměry pole jsou 24 a 18 m.
Ze zadání plyne: 2a + 2b = 84
Vyjádříš si jednu proměnnou, kterou poté dosadíš do další rovnice, tak např. a
a = 42 - b
Pythagorova věta:
a2 + b2 = c2
a2 + b2 = (30)2
a2 + b2 = 900
Nyní dosadíš za a: a = 42 - b
(42 - b)2 + b2 = 900
1764 - 84b + b2 + b2 = 900
Učešeme rovnici (jak říkávávala naše paní profesorka)
2b2 - 84b + 864 = 0
Pro snazší výpočet můžeš celou rovnici vydělit dvěma.
b2 - 42b + 432 = 0
Vypočítáš si diskriminant (vycházíme ze zápisu ax2 + bx + c = 0):
D = b2-4ac
D = (-42)2 - 4*1*432
D = 1764 - 1728
D = 36
Kořeny rovnice spočteme následovně (pro lepší přehlednost, x=b - strana pole):
x1, x2 = (-b +/- druhá odmocnina z D)/2a
x1 (b1) = (42 + 6)/2*1
b1 = 24 m
x2 (b2) = (42 - 6)/2*1
b2 = 18 m
Nyní dopočítáme rozměr a:
a = 42 - b
a1 = 42 - 24
a1 = 18 m
a2 = 42 - 18
a2 = 24
Vidíme, že vychází kombinace [a1;b1] = [18;24] a [a2;b2] = [24;18], tedy to znamená, že si můžeme dle své libosti jednu z možnosí vybrat pro celkový dopočet, pro svoje vysvětlení zvolím variantu č.1
Zkouška:
O = 2a + 2b
2*18 + 2*24 = 84
Slovní odpověď: Rozměry pole jsou 18 a 20 metrů
Doufám, že je to dost přehledné a nějak se v tom vyznáš, ráda cokoliv dovysvětlím apod. :)
