Příklad - matematika
Odpovědi
Diskuze
Větší bílá vepsaná.. S1, r1
Menší bílá vepsaná.. S2, r2
V prvním kroku vyjádříme vztah mezi poloměry r = r1 + r2
Pak ze vztahu mezi obsahy kružnic odvodíme rovnici r^2 - (r1)^2 - (r2)^2 = 1
Propojíme střed kružnice (S,r) se středem úsečky |AB| a s bodem B, vzniklý pravoúhlý trojúhelník má přeponu (r), odvěsnu (1/2)*|AB| a druhou odvěsnu, jejíž délka se rovná rozdílu poloměru kružnice (S,r) a průměru (S2, r2), takže (r-2*r2).
Použijeme Pythagorovu větu a dostaneme vztah r^2 = (r-2*r2) + ((1/2)*|AB|)^2
Vyjádření poloměru (r) z prvního kroku vložíme do ostatních dvou rovnic, provedeme umocnění, pak od obou rovnic odečteme (r1)^2 a (r2)^2. Dostaneme soustavu dvou rovnic, vynásobíme první rovnici 2 a dostaneme 2 = (1/4)*|AB|^2, z toho dopočítáme délku |AB|:
|AB| = 2sqrt(2)
Zaokrouhleně se tento výsledek rovná 3, takže správně je odpověď (B).
Platí: pí(r_1+r_2)^2 - pir_1^2 - pír_2^2 = 2pí
Úpravou dostaneme r_1*r_2 = 1
Pak pravoúhlý trojúhelník, kterým získáme polovinu hledané délky úsečky, má rozměry:
přepona (r_1+r_2), jedna odvěsna (r_1 + r_2 - 2r_2) = r_1 - r_2
Sestavíme Pythagorovu větu:
(r_1 + r_2)^2 - (r_1 - r_2)^2 = x^2
Úpravou levé strany dostaneme 4r_1r_2.
A když r_1*r_2 = 1, pak je jasné, že 4r_1 * r_2 = 4
Odmocnina z toho = 2
Čili AB = 4 :)
Když vystřihneme z kruhu o průměru D kruh o průměru d (bílý) tak, aby bylo těžiště vzniklého (šedivého) půlměsíce v bodě T (na obvodu malého bílého kruhu), Jaký je pak poměr poloměrů D/d ? (původní kruhy se dotýkají svými obvody)