Elipsa, příklady

pavelnovak14.04.2014 23:01 Nahlásit
Dobrý den, neví si někdo rady s těmito dvěma příklady? Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu v souřadnicové ose x a prochází body C (8,3) a D (6,4). A druhý příklad - na elipse 4x*x + 9y*y=36 najděte body, které mají nejmenší nebo největší vzdálenost od přímky 2x+4y-15=0.

Odpovědi

Přidat odpověď ▾

Diskuze

Anonym Loduput15.04.2014 12:31 Nahlásit
2)
Body, které mají nejmenší a největší vzdálenost od přímky 2x+4y-15=0 jsou body dotyku tečen rovnoběžných právě s touto přímkou. Takže řešíme soustavu rovnic
2x + 4y + c = 0
4x^2 + 9y^2 = 36
s parametrem c tak, aby kvadratická rovnice měla jedno řešení, tj. aby diskriminant byl roven nule.
Cenobita.15.04.2014 12:51 Nahlásit
1. příklad

x*x/(a*a) + y*y/(b*b) = 1 (rovnice elipsy)

pokud je hlavní osa v ose x, platí: S[x,0], F1[x+a,0], F2[x-a,0]

dosazením bodů C(8,3) a D(6,4) do rovnice elipsy dostaneme soustavu rovnic:
---
8*8/(a*a) + 3*3/(b*b) = 1
6*6/(a*a) + 4*4/(b*b) = 1
---

---
1/(a*a) = (1-3*3/(b*b))/(8*8)
1/(a*a) = (1-4*40/(b*b))/(6*6)
---

(1-3*3/(b*b))/(8*8)=(1-4*4/(b*b))/(6*6)

(8*8*4*4-6*6*3*3)/(8*8-6*6)=b*b

25=b*b

b=5
===

6*6/(1-16/25)=a*a

100=a*a
a=10

rovnice elipsy:

x*x/(10*10) + y*y/(5*5) = 1 (rovnice elipsy)
=============================================

kontrola:

x*x/(10*10) + y*y/(5*5) = 1 (rovnice elipsy)
8*8/(10*10) + 3*3/(5*5) = 1 (OK)
6*6/(10*10) + 4*4/(5*5) = 1 (OK)
pavelnovak16.04.2014 00:09 Nahlásit
Můžete mi ještě jednou vysvětlit tu dvojku, jakz jistím tu nejmenší i největší vzdálenosti?
Anonym Loduput18.04.2014 13:54 Nahlásit
Najdeme tečny k elipse 4x^2 + 9y^2 = 36, které jsou rovnoběžné s přímkou 2x+4y-15=0. Rovnice hledaných tečen budou mít rovnici 2x + 4y + c = 0, tj. budou se od rovnice dané přímky lišit hodnotou c. Jelikož jsou to tečny elipsy, mají s ní pouze jeden společný bod – bod dotyku. Takže řešíme soustavu s parametrem c:
2x + 4y + c = 0
4x^2 + 9y^2 = 36
Z první rovnice vyjádříme např. proměnnou x a dosadíme do druhé rovnice. U vzniklé kvadratické rovnice s parametrem pak nalezneme hodnotu parametru c takovou, aby diskriminant byl roven nule.
Pak určíme body dotyku a můžeme určit jejich vzdálenost od dané přímky.
http://postimg.org/image/z6m83kwel/
Anonym Menysyb24.05.2014 20:04 Nahlásit
Promiňte, ale chtěl bych se ještě vrátit k prvnímu příkladu - podle mě ze zadání úlohy nevyplývá, že by střed S elipsy ležel v počátku ss. V zadání je řečeno, že hlavní osa splývá s osou x. To znamená, že střed může mít souřadnice S(m,0) a rovnice elipsy potom nebude mít tvar x^2/a^2+y^2/b^2=1, ale (x-m)^2/a^2+y^2/b^2=1. Kdybychom předpokládali S(0,0), potom bych to opravdu řešil výše popsaným způsobem.
Anonym Fifacih24.05.2014 23:56 Nahlásit
Kdyby střed elipsy nebyl v počátku souřadnicového systému, pak by bylo zadání neúplné – v zadání musí být zadány čtyři prvky.
Správně by to mělo být tak, jak uvádíte a střed si zvolit libovolně na ose x. Pak by ale řešení nevycházelo tak „hezky“. V zadání by tedy měl být zřejmě zadán střed elipsy
S =[0;0].
Přidat komentář do diskuze ▾