Matematika integrály
Dobrý deň potreboval by som pomocť s týmito príkladmi a potreboval by som ich aj pochopit Ďakujem
príklady
Odpovědi
Diskuze
Nejprve musíš zjistit jak vypadá integrační oblast S (je vyznačena červeně) - obrázek 1
https://www.wolframalpha.com/input?i=x%3D0%2Cy%3D-x*%28x-4%29%2Cy%3Dx%C2%B2%2B2
Musíme zjistit ve kterém bodě se paraboly protínají nebo dotýkají.
řešíme soustavu rovnic:
y=-x*(x-4)
y=x²+2
-x*(x-4) = x²+2
-x²+4x = x²+2
0 = 2x²-4x+2
0 = x²-2x+1
Viétovy vztahy:
1=(-1)*(-1)
-2=(-1) + (-1)
(x-1)*(x-1) = 0
Kořeny rovnice jsou tedy: x1=+1, x2=+1, Jedná se tedy o dvojnásobný kořen, paraboly se tedy dotýkají v souřadnici: x=+1, zjistíme druhou souřadnici:
y=x²+2
y=1²+2=3
Bod Dotyku kde se paraboly dotýkají je tedy: D[+1,+3], což odpovídá i obrázku.
Nyní známe integrační oblast S a rozhodněme se jak budeme integrovat.
Já bych vypočítal plochu S1 (zelená) a odečetl plochu S2 (žlutá)
Rozdílem je červená plocha:
S=S1-S2
---
Sestavíme určité Integrály (k integraci je třeba znát základní vzorce) :
S1 = (od x=0, do x=1) ∫ (x²+2) * dx
S1 = (od x=0, do x=1) [x³/3+2x]
S1 = [1³/3+2*1] - [0³/3+2*0] = 2+1/3
===
S2 = (od x=0, do x=1) ∫ -x*(x-4) * dx
S2 = (od x=0, do x=1) [-x³/3+4x²/2]
S2 = [-1³/3+4*1²/2] - [-0³/3+4*0²/2] = 2-1/3
===
S=S1-S2
S=(2+1/3) - (2-1/3)
S=2/3
=====
Parciální derivace (zde o dvou proměnných x,y) se derivují tak, že se derivuje funkce podle jedné proměnné (podle x) a na ostatní proměnné (y) se pohlíží jako na konstanty.
Parciální derivace (zde o dvou proměnných x,y) se derivují tak, že se derivuje funkce podle jedné proměnné (podle y) a na ostatní proměnné (x) se pohlíží jako na konstanty.
f(x,y) = √(y-x²-1) / (2y)
f(x,y) = (y-x²-1)^(1/2) / (2y)
∂f/∂x = 1/2 * (y-x²-1)^(-1/2) * (-2x)/ (2y) = -1/2 * (x/y) * 1 / (y-x²-1)^(1/2)
===
f(x,y) = (y-x²-1)^(1/2) / (2y)
∂f/∂y = [ 1/2 * (y-x²-1)^(-1/2) * (2y) - (y-x²-1)^(1/2) * (2) ] / (2y)²
∂f/∂y = y/y * (y-x²-1)^(-1/2)/(4y) - 2*(y-x²-1)^(1/2) / (4y²)
∂f/∂y = y/(y-x²-1)^(1/2) * 1/(4y²) - 2*(y-x²-1)* 1/(y-x²-1)^(1/2) * 1/(4y²)
∂f/∂y = (y - 2*(y-x²-1)) * 1/(y-x²-1)^(1/2) * 1/(4y²)
∂f/∂y = (2x²-y+2) * 1/(y-x²-1)^(1/2) * 1/(4y²)
===
https://www.wolframalpha.com/input?i=f%28x%2Cy%29+%3D+%28y-x%C2%B2-1%29%5E%281%2F2%29+%2F+%282y%29