Slovní úloha, dřevěné kostky
Ahoj nevíte prosím tuhle slovní úlohu? Moc to chvátá prosím
Adam dostal od dedecka drevené kostky. Všechny byly stejné a byly to krychle s hranou
dlouhou 4 cm. Rozhodl se, že z nich bude skládat komíny, a to takové:
-aby byly použity všechny kostky,
-aby komín pri pohledu shora vypadal jako „dutý obdélníkÿ nebo „dutý ctverecÿ ohranicený
jednou radou kostek,
-aby ani v nejvyšší vrstve žádná kostka nechybela.
3
Adam zjistil, že podle techto pravidel muže postavit komín vysoký 16 cm, nebo 20 cm,
nebo 24 cm.
1. Jaký nejmenší pocet kostek mohl Adam dostat od dedecka?
2. Jak vysoký je nejvyšší komín, který muže Adam s tímto poctem kostek postavit podle
uvedených pravidel?
Adam dostal od dedecka drevené kostky. Všechny byly stejné a byly to krychle s hranou
dlouhou 4 cm. Rozhodl se, že z nich bude skládat komíny, a to takové:
-aby byly použity všechny kostky,
-aby komín pri pohledu shora vypadal jako „dutý obdélníkÿ nebo „dutý ctverecÿ ohranicený
jednou radou kostek,
-aby ani v nejvyšší vrstve žádná kostka nechybela.
3
Adam zjistil, že podle techto pravidel muže postavit komín vysoký 16 cm, nebo 20 cm,
nebo 24 cm.
1. Jaký nejmenší pocet kostek mohl Adam dostat od dedecka?
2. Jak vysoký je nejvyšší komín, který muže Adam s tímto poctem kostek postavit podle
uvedených pravidel?
Odpovědi
Diskuze
c1=16 cm/4cm ~ 4 kostky
c2=20 cm/4cm ~ 5 kostek
c3=24 cm/4cm ~ 6 kostek
Objem komínu (obecné rovnice):
V=a*b*c - (a-2)*(b-2)*c = a*b*c - (ab-2a-2b+4)*c = (a+b-2)*2*c
V=(a+b-2)*2*c
=============
sestavíme rovnice pro tři komíny:
a - představuje šířku
b - představuje délku
c - představuje výšku
V1=(a1+b1-2)*2*c1
V2=(a2+b2-2)*2*c2
V3=(a3+b3-2)*2*c3
dosadíme:
c1=4
c2=5
c3=6
Máme soustavu rovnic:
V1=(a1+b1-2)*2*4
V2=(a2+b2-2)*2*5
V3=(a3+b3-2)*2*6
Všechny komíny musí obsahovat stejný počet kostek:
V1=V2=V3
sestavíme rovnice:
{
(a1+b1-2)*8 = (a2+b2-2)*10;
(a1+b1-2)*8 = (a3+b3-2)*12
}
{
(a1+b1)*4 = (a2+b2)*5 - 2;
(a1+b1)*2 = (a3+b3)*3 - 2
}
substituce:
A=(a1+b1)
B=(a2+b2)
C=(a3+b3)
soustava rovnic (substituovaná ~ zjednodušená):
{
A*4 = B*5 -2;
A*2 = C*3 -2
}
Provedeme řešení soustavy (zjednodušené) v oboru celých čísel:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B+A*4+%3D+B*5+-2%3B+A*2+%3D+C*3+-2+%7D
A=15n + 2
B=12n + 2
C=10n + 2
Řešení pro n=0: (nemá smysl pro geometrické řešení tělesa komínu, algebraicky však vyhovuje i tato)
Řešení pro n=1:
A=15n + 2
B=12n + 2
C=10n + 2
A=17
B=14
C=12
A=(a1+b1)
B=(a2+b2)
C=(a3+b3)
Kontrola:
V1=(17-2)*2*4=15*2*4=120
V2=(14-2)*2*5=12*2*5=120
V3=(12-2)*2*6=10*2*6=120
Minimální množství kostek, které chlapec dostal od dědečka je 120.
==================================================================
B) nejvyšší možný komín
V4=(a4+b4)*2*c4=120
(a4+b4)*c4=60
nejmenší (a4+b4) - splňující podmínku dutý komín je: (a4+b4)=6
6*c4=60
c4=60/6=10
==========
Nejvyšší komín postavený ze 120 kostek má 10 vrstev.
====================================================
◘◘◘
◘ ◘
◘◘◘ všechny komíny budou po čtyřech
tzn. 4*8=32
když může postavit komín dlouhý 16 cm tak má jeden sloupec v sobě 4 kostky
sloupců je tam 14 takže: 14x 4 = 56 :)