Ontola > Matematika > diskuze
| Nahlásit

Matematika - Stereometrie - Hranoly

Dobrý den, chtěl bych se Vás zeptat, zdali prosím nevíte jak se počítá tento příklad: Vypočítejte objem a povrch pravidelného čtyřbokého hranolu, jehož výška je 28,6 cm a odchylka tělesové úhlopříčky od roviny podstavy je 50 stupňů. Předem Vám velice moc děkuji.
Témata: matematika

11 reakcí

(Upr. 15.01. 11:19) | Nahlásit
Přeji pěkné dopoledne, Anonyme Luburesi,

označme si vrcholy podstavy hranolu jako A, B, C, D a odpovídající vrcholy druhé podstavy A', B', C', D'.
Víme, že výška |AA'| = 28,6 cm a odchylka tělesové úhlopříčky od roviny podstavy je 50 °, tedy velikost úhlu A'CA je 50 °.

Máme tedy pravoúhlý trojúhelník, v němž známe délku jedné odvěsny a velikost úhlu, který svírá druhá odvěsna s přeponou.
Potřebujeme zjistit délku druhé odvěsny a přepony.

Předpokládám, že je vám jasné, co musíte teď udělat. Po zjištění délek zbývajících stran aplikujete vzorečky pro povrch a objem hranolu. Zvládnete to sám? Zkuste to a pokud se nezadaří, ozvěte se, pořešíme to dál.
| Nahlásit
Já se omlouvá, ví že nyní přijde na řadu Pythagorová věta, kde zjístím stranu b, ale já už jsem zapomněl,jak se to počítá s úhlem
| Nahlásit
Milý Anonyme Luburesi,

omlouvám se, předtím jsem si špatně přečetl zadání (nevšiml jsem si, že hranol je pravidelný, tedy podstavou je čtverec), chvilku vydržte, hned vám napíšu nápovědu k dalšímu postupu.
| Nahlásit
Promiň Te, teď jsem si uvědomil, že k tomu potřebuji znát sinus, což je 40 stupňů, tedy 90 stupňů - 50
(Upr. 15.01. 12:58) | Nahlásit
Milý Anonyme Luburesi,

to je v pořádku, že nevíte, jak pokračovat, popíšu vám to.

Pythagorova věta se v tomto případě použít nedá, protože znáte jen jednu stranu a všechny úhly. Pro použití Pythagorovy věty byste potřeboval znát (kromě faktu, že trojúhelník je pravoúhlý) délky dvou stran.

Zde se využijí goniometrické funkce.

Potřebujeme nutně zjistit délku strany |AC|, neboť jde o úhlopříčku čtvercové podstavy.

Víme, že funkce tangens zobrazuje úhel v radiánech na poměr délky odvěsny protilehlé ke známému úhlu a délky přilehlé odvěsny ke známému úhlu.
Převedeme si tedy 50 ° na radiány následovně: 50 ° = 50 * pi / 180 [rad] = 5 * pi / 18 rad.
Víme, že tg(5 * pi / 18) = 28.6 / |AC|, tedy
|AC| = 28.6 / tg (5 * pi / 18)

Známe tedy délku úhlopříčky čtvercové podstavy. Z Pythagorovy věty plyne, že platí

sqrt(2) * a = |AC|, tedy
a = |AC| / sqrt(2) = sqrt(2) * |AC| / 2 = sqrt(2) * (28.6 / tg (5 * pi / 18)) / 2 = sqrt(2) * (14.3 / tg (5 * pi / 18))

Známe tedy délku všech hran hranolu:

a = sqrt(2) * (14.3 / tg (5 * pi / 18))
c = 28.6

Povrch je součet obsahů všech stěn, tedy Sp = 2*a*a + 4*a*c = 2 * (sqrt(2) * (14.3 / tg (5 * pi / 18)))^2 + 4 * sqrt(2) * (14.3 / tg (5 * pi / 18)) * 28.6 = (817.96 / tg (5 * pi / 18)) * (1 / tg (5 * pi / 18) + sqrt(2) * 2) cm^2.

Objem je součin a * a * c, tedy
V = a * a * c = sqrt(2) * (14.3 / tg (5 * pi / 18)) * sqrt(2) * (14.3 / tg (5 * pi / 18)) * 28.6 = 11696.828 / (tg (5 * pi / 18))^2 cm^3.

Tedy odpověď zní následovně:

Povrch hranolu činí (817.96 / tg (5 * pi / 18)) * (1 / tg (5 * pi / 18) + sqrt(2) * 2) cm^2.
Objem hranolu činí 11696.828 / (tg (5 * pi / 18))^2 cm^3.
| Nahlásit
Já se Vám omlouvám, ale trošku jsem se v tom zamotal, není nějaký jednodušší způsob počítání? Jinak Vám velice děkuji za pomoc
(Upr. 15.01. 13:29) | Nahlásit
Přeji opět krásné poledne, Anonyme Luburesi,

nevadí, podíváme se na to ještě jinak.

Prohlédněte si přiložený obrázek, který jsem pro vás nakreslil. My známe délku |AA'|, což je délka hrany c. Rovněž známe vyznačený úhel A'CA. Poznáte jednotlivé známé hodnoty z obrázku? Našim úkolem je pomocí nich najít hodnotu a.

Postup je takový:

1. Najít pomocí vyznačeného pravoúhlého trojúhelníku stěnovou úhlopříčku |CA|.
2. Vypočítat pomocí stěnové úhlopříčky |AC| délku hrany a.
3. Pomocí délky hrany a a hrany c zjistit povrch a objem hranolu.

Zkuste uvést, co přesně je vám v tento okamžik nejasné.
| Nahlásit
No jako vím, že by se mělo počítat dle sínusu, a to tak, že odečtu 90 - 50, to mi dá 40 stupňů a pak 28,6 vydělím tím sinusem 40 a měla by mi vyjít hodnota x, kterou bych následně doložil do rovnice. Podle obrázku vím, že stěnová úhlopříčka se vypočítá a odmocnina 3, ale nwm, jak zjístím povrch a objem hrany a a hrany c, to musím podle sínusu?
(Upr. 15.01. 13:45) | Nahlásit
Milý Anonyme Luburesi,

sinus vám je v tuto chvíli k ničemu, vy potřebujete znát délku stěnové úhlopříčky |AC| a tu vypočítáte pomocí funkce tangens, jak jsem uváděl výše (připomeňme si, že 50 ° = 50 * pi / 180 rad).

tg(50 * pi / 180) = 28.6 / |AC|, tedy

|AC| = 28.6 / tg(50 * pi / 180).

Nevím, co myslíte hodnotou x a doložením do rovnice. Stěnová úhlopříčka |AC| se počítá následovně:

|AC| = √2 * a,
nikoliv √3, tedy
a = |AC| / √2 = √2 * |AC| / 2

Nic jako povrch a objem hrany neexistuje a i kdyby to existovalo, sinus vám k tomu nepomůže. Zjišťujete povrch a objem hranolu a to se v případě pravidelného čtyřbokého hranolu počítá takto:

Sp [povrch] = 2*a*a + 4*a*c
V [objem] = a*a*c

Už je to jasné?

Předchozími výpočty jsem došel k tomu, že odpovědi zní:

Sp = (817.96 / tg (5 * pi / 18)) * (1 / tg (5 * pi / 18) + sqrt(2) * 2) cm^2.
V = 11696.828 / (tg (5 * pi / 18))^2 cm^3.

Odpovídá to očekávaným výsledkům?
| Nahlásit
Ano je mi to jasné, velice Vám moc děkuji za vysvětlení a přeji Vám hezký víkend
| Nahlásit
Výborně, také vám přeji pěkný víkend a spoustu podobných matematických zážitků.
 Anonym
Odpovídat lze i bez registrace. Dodržujte pravidla Ontoly
Vložit: Obrázek