Matematika - Stereometrie - Hranoly
Dobrý den, chtěl bych se Vás zeptat, zdali prosím nevíte jak se počítá tento příklad: Vypočítejte objem a povrch pravidelného čtyřbokého hranolu, jehož výška je 28,6 cm a odchylka tělesové úhlopříčky od roviny podstavy je 50 stupňů. Předem Vám velice moc děkuji.
Odpovědi
Diskuze
označme si vrcholy podstavy hranolu jako A, B, C, D a odpovídající vrcholy druhé podstavy A', B', C', D'.
Víme, že výška |AA'| = 28,6 cm a odchylka tělesové úhlopříčky od roviny podstavy je 50 °, tedy velikost úhlu A'CA je 50 °.
Máme tedy pravoúhlý trojúhelník, v němž známe délku jedné odvěsny a velikost úhlu, který svírá druhá odvěsna s přeponou.
Potřebujeme zjistit délku druhé odvěsny a přepony.
Předpokládám, že je vám jasné, co musíte teď udělat. Po zjištění délek zbývajících stran aplikujete vzorečky pro povrch a objem hranolu. Zvládnete to sám? Zkuste to a pokud se nezadaří, ozvěte se, pořešíme to dál.
omlouvám se, předtím jsem si špatně přečetl zadání (nevšiml jsem si, že hranol je pravidelný, tedy podstavou je čtverec), chvilku vydržte, hned vám napíšu nápovědu k dalšímu postupu.
to je v pořádku, že nevíte, jak pokračovat, popíšu vám to.
Pythagorova věta se v tomto případě použít nedá, protože znáte jen jednu stranu a všechny úhly. Pro použití Pythagorovy věty byste potřeboval znát (kromě faktu, že trojúhelník je pravoúhlý) délky dvou stran.
Zde se využijí goniometrické funkce.
Potřebujeme nutně zjistit délku strany |AC|, neboť jde o úhlopříčku čtvercové podstavy.
Víme, že funkce tangens zobrazuje úhel v radiánech na poměr délky odvěsny protilehlé ke známému úhlu a délky přilehlé odvěsny ke známému úhlu.
Převedeme si tedy 50 ° na radiány následovně: 50 ° = 50 * pi / 180 [rad] = 5 * pi / 18 rad.
Víme, že tg(5 * pi / 18) = 28.6 / |AC|, tedy
|AC| = 28.6 / tg (5 * pi / 18)
Známe tedy délku úhlopříčky čtvercové podstavy. Z Pythagorovy věty plyne, že platí
sqrt(2) * a = |AC|, tedy
a = |AC| / sqrt(2) = sqrt(2) * |AC| / 2 = sqrt(2) * (28.6 / tg (5 * pi / 18)) / 2 = sqrt(2) * (14.3 / tg (5 * pi / 18))
Známe tedy délku všech hran hranolu:
a = sqrt(2) * (14.3 / tg (5 * pi / 18))
c = 28.6
Povrch je součet obsahů všech stěn, tedy Sp = 2*a*a + 4*a*c = 2 * (sqrt(2) * (14.3 / tg (5 * pi / 18)))^2 + 4 * sqrt(2) * (14.3 / tg (5 * pi / 18)) * 28.6 = (817.96 / tg (5 * pi / 18)) * (1 / tg (5 * pi / 18) + sqrt(2) * 2) cm^2.
Objem je součin a * a * c, tedy
V = a * a * c = sqrt(2) * (14.3 / tg (5 * pi / 18)) * sqrt(2) * (14.3 / tg (5 * pi / 18)) * 28.6 = 11696.828 / (tg (5 * pi / 18))^2 cm^3.
Tedy odpověď zní následovně:
Povrch hranolu činí (817.96 / tg (5 * pi / 18)) * (1 / tg (5 * pi / 18) + sqrt(2) * 2) cm^2.
Objem hranolu činí 11696.828 / (tg (5 * pi / 18))^2 cm^3.
nevadí, podíváme se na to ještě jinak.
Prohlédněte si přiložený obrázek, který jsem pro vás nakreslil. My známe délku |AA'|, což je délka hrany c. Rovněž známe vyznačený úhel A'CA. Poznáte jednotlivé známé hodnoty z obrázku? Našim úkolem je pomocí nich najít hodnotu a.
Postup je takový:
1. Najít pomocí vyznačeného pravoúhlého trojúhelníku stěnovou úhlopříčku |CA|.
2. Vypočítat pomocí stěnové úhlopříčky |AC| délku hrany a.
3. Pomocí délky hrany a a hrany c zjistit povrch a objem hranolu.
Zkuste uvést, co přesně je vám v tento okamžik nejasné.
sinus vám je v tuto chvíli k ničemu, vy potřebujete znát délku stěnové úhlopříčky |AC| a tu vypočítáte pomocí funkce tangens, jak jsem uváděl výše (připomeňme si, že 50 ° = 50 * pi / 180 rad).
tg(50 * pi / 180) = 28.6 / |AC|, tedy
|AC| = 28.6 / tg(50 * pi / 180).
Nevím, co myslíte hodnotou x a doložením do rovnice. Stěnová úhlopříčka |AC| se počítá následovně:
|AC| = √2 * a,
nikoliv √3, tedy
a = |AC| / √2 = √2 * |AC| / 2
Nic jako povrch a objem hrany neexistuje a i kdyby to existovalo, sinus vám k tomu nepomůže. Zjišťujete povrch a objem hranolu a to se v případě pravidelného čtyřbokého hranolu počítá takto:
Sp [povrch] = 2*a*a + 4*a*c
V [objem] = a*a*c
Už je to jasné?
Předchozími výpočty jsem došel k tomu, že odpovědi zní:
Sp = (817.96 / tg (5 * pi / 18)) * (1 / tg (5 * pi / 18) + sqrt(2) * 2) cm^2.
V = 11696.828 / (tg (5 * pi / 18))^2 cm^3.
Odpovídá to očekávaným výsledkům?