Binomický věta
Zdravím, mám příklad z Petákové: Najděte všechny členy binomického rozvoje, které jsou racionálními čísly: (treti√x - 1/√x)^14.. Petákové vyšel pouze člen 3. A já bych potřebovala vysvětlit, proč ne i 9. a 15.
Odpovědi
Diskuze
(³√x - 1/√x)^14 =
C(14,0)=1
C(14,1)=14
C(14,2)=91
C(14,3)=364
C(14,4)=1001
C(14,5)=2002
C(14,6)=3003
C(14,7)=3432
C(14,8)=3003
atd.
(³√x)^14*(1/√x)^0 = x^(14/3)* (x)^(-0/2) = ...
(³√x)^13*(1/√x)^1 = x^(13/3)*x^(-1/2) = ...
(³√x)^12*(1/√x)^2 = x^(12/3)*x^(-2/2) = x^(3)
(³√x)^11*(1/√x)^3 = x^(11/3)*x^(-3/2) = ...
(³√x)^10*(1/√x)^4 = x^(10/3)*x^(-4/2) = ...
(³√x)^09*(1/√x)^5 = x^(09/3)*x^(-5/2) = ...
(³√x)^08*(1/√x)^6 = x^(08/3)*x^(-6/2) = ...
(³√x)^07*(1/√x)^7 = x^(07/3)*x^(-7/2) = ...
(³√x)^06*(1/√x)^8 = x^(06/3)*x^(-8/2) = x^(-2)
(³√x)^05*(1/√x)^9 = x^(05/3)*x^(-9/2) = ...
(³√x)^04*(1/√x)^10 = x^(04/3)*x^(-10/2) = ...
(³√x)^03*(1/√x)^11 = x^(03/3)*x^(-11/2) = ...
(³√x)^02*(1/√x)^12 = x^(02/3)*x^(-12/2) = ...
(³√x)^01*(1/√x)^13 = x^(01/3)*x^(-13/2) = ...
(³√x)^00*(1/√x)^14 = x^(00/3)*x^(-14/2) = x^(-7)
Vyhovuje jen člen 3.
Není snad racionální číslo podíl dvou celých (a tudíž i jakýchkoliv jiných racionálních) čísel? Proč by tam měl zlomek vadit? Vždyť právě zlomek je "typické" racionální číslo!?
Aby mohl některý člen toho rozvoje být racionální, musí především x být racionální - to tady nikdo nezmínil. Bude-li např. x = pí, tak nemůže být obecně racionální nic, co z toho vypočítáte.
Pak ovšem
3. člen = x^3
9. člen = 1/(x^2)
15. člen = 1/(x^7)
Jsou všechno taky racionální čísla pro každé x ∈ R