Dobrý den,
potřebovala bych pomoc spočítat integrál xcosx/sin^(3)x
Zamotala jsem se do toho. Vím, ze musím udělat substituci a metodu per partes, ale nevím, jak to zkombinovat
Děkuji
Přeji pěkné odpoledne, Anonyme Paqahone,
ke zdárnému nalezení primitivní funkce F(x) k funkci f(x) = x * cos(x) / sin^3(x) skutečně využijeme kombinaci substituční metody a metody per partes.
∫ f(x) dx = ∫ (x * cos(x) / sin^3(x)) dx
Nyní se pokusíme provést metodu Per partes. Zavedeme funkce u', v následovně:
u'(x) = cos(x) / sin^3(x)
v(x) = x
Všimněme si, že f(x) = u'(x) * v(x).
Z toho plyne, že v'(x) = 1. Nyní je třeba nalézt u(x), tedy primitivní funkci k u'(x). Řešíme tedy neurčitý integrál:
∫ u'(x) dx = ∫ cos(x) / sin^3(x) dx
Tento integrál vyřešíme pomocí substituční metody. Zaveďme t následovně:
t = sin(x)
dt = cos(x) dx
dx = dt / cos(x)
Po dosazení obdržíme:
∫ cos(x) / sin^3(x) dx = ∫ dt / t^3 = - 1 / (2 * t^2) + C = - 1 / (2 * sin^2(x)) + C_1, kde C_1 € R, zde můžeme sprostě stanovit C_1 = 0, neboť itegrační konstantu zavedeme i v závěru.
Nyní zopakujme, čemu odpovídá v(x), v'(x), u'(x), u(x):
u'(x) = cos(x) / sin^3(x), u(x) = - 1 / (2 * sin^2(x))
v(x) = x, v'(x) = 1
Víme, že platí
∫ u'(x) * v(x) dx = u(x) * v(x) - ∫ u(x) * v'(x) dx, tedy
∫ f(x) dx = - x / (2 * sin^2(x)) + 1 / 2 * ∫ 1 / sin^2(x) dx = - x / (2 * sin^2(x)) - 1 / 2 * cotg(x) + C, kde C € R.
Snad je to jasné. Určitě připojte doplňující otázky, pokud ne.
