Kuželosečky - elipsa
Je dána elipsa x2 + 4y2 = 16. napište rovnici tečny rovnoběžné s přímkou 2x – 3y – 8 = 0 a určete bod dotyku.
Odpovědi
Diskuze
e: x2 + 4y2 = 16
y2 = 4-x2/4
y = √(4-x2/4)
dy=1/√(4-x2/4)*(-2x/4)*dx
k=y'=-x/(2√(16-x2))
y'=k (směrnice přímky)
p: 2x – 3y – 8 = 0
y = 2/3x – 8/3
y' = 2/3 = k
porovnáme obě směrnice:
k=y'=-x/(2√(16-x2))=2/3
-x/(2√(16-x2))=2/3
x1=-16/5
=======
(-16/5)2 + 4y2 = 16
y2 = (16 - (-16/5)2)/4
y^2 = (4 - (16*16/100))
y=√(4-(16*16/100)
y=6/5
=====
(y0-2/3*x0)=q
(√(4-(16*16/100)) - 2/3*(-16/5))=q
q=10/3
rovnice tečny:
y=2/3*x+(√(4-(16*16/100)) -2/3*(-16/5))
t1: y=2/3*x+10/3 (rovnice tečky 1)
============
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x2+%2B+4y2+%3D+16%3B2x+%E2%80%93+3y+%E2%80%93+8+%3D+0%3By%3D2%2F3*x%2B%28%E2%88%9A%284-%2816*16%2F100%29%29+-2%2F3*%28-16%2F5%29%29
T1[x1,y1]
T1[-16/5 , 6/5] (souřadnice bodu T1)
===============
to druhé řešení T2[x2,y2] jsem nehledal.
dosadíme do rovnice elipsy:
[(3y-c)/2]^2 + 4y^2 = 16 | *4
9y^2-6cy+c^2 + 16y^2 = 64
25y^2 - 6cy + c^2 - 64 = 0
D=0
36c^2 - 100 (c^2 - 64) = 0
6400=64c^2
c=± 10
t_1: 2x-3y-10=0
t_2: tečna: 2x-3y+10=0