Popostrčení k řešení
Ahoj všem, vím, že se tu MO neřeší, ale já ji vyřešit nechci, jen jaksi popostrčit :D
Pan Vlk čekal na zastávce před školou na autobus. Z okna slyšel slova učitele:
„Jaký povrch může mít pravidelný čtyřboký hranol, víte-li, že délky všech jeho
hran jsou v centimetrech vyjádřeny celými čísly a že jeho objem je. . . ÿ
Toto důležité číslo pan Vlk neslyšel, protože zrovna projelo okolo auto. Za chvíli
slyšel žáka hlásícího výsledek 918 cm2. Učitel na to řekl:
„Ano, ale úloha má celkem čtyři řešení. Hledejte dál.ÿ
Více se pan Vlk už nedozvěděl, neboť nastoupil do svého autobusu. Protože mate-
matika byla vždy jeho hobby, vytáhl si v autobuse tužku a papír a po čase určil i zbylá
tři řešení učitelovy úlohy. Spočítejte je i vy.
Co s tím úplně nevím, jen mě napadlo, že bych z povrchu 918cm čtverečných vypočítal a, c a jelikož je to pravidelný, tak:
2a2 +4ac = 918
2a(a+2c) = 918 /:2
a(a+2c) = 459
Vím, že by třeba a mohlo být 17 a c 5 (17*[17+2*5])=17*27=459
z toho mám objem (17)2*5 =1445
a2*c = 1445
A dál už vůbec nevím.. Zkoušel jsem všechny zjistit číslo c, takže jsem na kalkulačce jak robot dával furt 1445: lichý číslo, tak aby výsledek šel odmocnit a bylo to celé číslo. Nedopátral jsem se dalšího výsledku. Nedokáže mi někdo alespoň říct, kde dělám chybu ? Dík
Pan Vlk čekal na zastávce před školou na autobus. Z okna slyšel slova učitele:
„Jaký povrch může mít pravidelný čtyřboký hranol, víte-li, že délky všech jeho
hran jsou v centimetrech vyjádřeny celými čísly a že jeho objem je. . . ÿ
Toto důležité číslo pan Vlk neslyšel, protože zrovna projelo okolo auto. Za chvíli
slyšel žáka hlásícího výsledek 918 cm2. Učitel na to řekl:
„Ano, ale úloha má celkem čtyři řešení. Hledejte dál.ÿ
Více se pan Vlk už nedozvěděl, neboť nastoupil do svého autobusu. Protože mate-
matika byla vždy jeho hobby, vytáhl si v autobuse tužku a papír a po čase určil i zbylá
tři řešení učitelovy úlohy. Spočítejte je i vy.
Co s tím úplně nevím, jen mě napadlo, že bych z povrchu 918cm čtverečných vypočítal a, c a jelikož je to pravidelný, tak:
2a2 +4ac = 918
2a(a+2c) = 918 /:2
a(a+2c) = 459
Vím, že by třeba a mohlo být 17 a c 5 (17*[17+2*5])=17*27=459
z toho mám objem (17)2*5 =1445
a2*c = 1445
A dál už vůbec nevím.. Zkoušel jsem všechny zjistit číslo c, takže jsem na kalkulačce jak robot dával furt 1445: lichý číslo, tak aby výsledek šel odmocnit a bylo to celé číslo. Nedopátral jsem se dalšího výsledku. Nedokáže mi někdo alespoň říct, kde dělám chybu ? Dík
Odpovědi
Diskuze
(a=1; 3; 9; 17; v (výška hranolu)=229; 75; 21; 5)
Nejsem matematik, spíš praktický uživatel matematiky. Zřejmě nalezené rozměry kvádru představují jediné řešení pro kolmý kvádr. Ale možná by bylo vhodné obrátit pozornost i na poněkud jiná tělesa - kosý kvádr a krychli a komolý jehlan. Ale zatím jsem tahle řešení nehledal.
Kolmý hranol, jehož podstavou je pravidelný mnohoúhelník, se nazývá pravidelný.
Anonym231680 chtěl jen popostrčit, tak jsem výpočet nepsala.
Z těch Vlaďčiných výpočtů je nutno si vybrat správný objem.
Pod pojmem "pravidelný čtyřboký hranol" by měl být kolmý hranol
jehož podstava je čtverec.
Zde se zřejmě připouští i obdelník pro podstavu. Kolmost zůstává.
Situace je stejná jako v případě chápání Přirozených čísel N,
kdy někdy do oboru N zahrnujeme i číslo nulu.
Ale většinou nulu do Přirozených čísel N nezahrnujeme.
Hranol dle úlohy má pouze jeden objem. (Údaj nebyl slyšet)
A to 1445 cm3.
Žák našel jen jedno řešení P1 = 918 cm2
Učitel: „Ano, ale úloha má celkem čtyři řešení. Hledejte dál."
Z toho plyne, že žák našel pouze jeden údaj povrchu.
Hranol má podle učitele čtyři možnosti pro povrch :
A jen jeden objem 1445 cm3 :
P1 = 918 cm2 ; A = 17 ; B = 17 ; C = 5
P2 = 3094 cm2 ; A = 1 ; B = 17 ; C = 85
P3 = 3478 cm2 ; A = 1 ; B = 289 ; C = 5
P4 = 5782 cm2 ; A = 1 ; B = 1 ; C = 1445
Návod:
po vyjádření objemu...
musí být objem dělitelný pěti nebo jedničkou.
Čísla musí být Celá.
Dodatek :
Jedná se o Diofantovy úlohy.
Pod pojmem celá čísla chápeme např. (–5);...(–1);0;1;2;3 atd.
Tento výrok není v rozporu s požadavkem "...vyjádřeny celými čísly ", protože Přirozená čísla N jsou podmnožinou čísel Celých Z.
Tak by pro podstavu čtverec vyhovovaly údaje.
Strany a;a;v ; Objem ; Povrch
1 ; 1 ; 1445 ; 1445 cm3 ; 5782 cm2 přesně
12 ; 12 ; 10 ; 1440 cm3 ; 770 cm2
v = 10,035 cm
17 ; 17 ; 5 ; 1445 cm3 ; 918 cm2 ; přesně
38 ; 38 ; 1 ; 1444 cm3 ; 3040 cm2
v = 1,001 cm
Případně ještě pátá možnost
11 ; 11 ; 12 ; 1452 cm3 ; 767 cm2
v = 11,94 cm
Tato varianta řešení je příliš jednoduchá.
Přiklonil bych se k prvnímu řešení, už vzhledem k páté možnosti
při akceptování zaokroulení rozměrů.
A navíc je to MO a ta se nemá řešit...
Držím palce.