Vzájemná poloha 2 rovin
Ahoj,
mám jeden dotaz - když počítám vzájemnou polohu 2 rovin, musím mít rovnice obou rovin v obecném tvaru nebo je můžu mít obě v parametrickém?
Počítala jsem například tenhle příklad:
Rovina č.1:
x=1+3s
y=2r+s
z=-r
Rovina č.2:
x=2t
y=1-t-u
z=u
Dala jsem rovnice do rovnosti, převedla neznámé na jednu stranu a počítala pomocí matic. Vyšlo mi, že hodnosti se rovnají 3, ale počet neznámých je 4, tudíž má rovnice nekonečně mnoho řešení -> u těch rovin to teda znamená, že jsou buď totožné nebo různoběžné(a průnikem je přímka).
Jenže jak mám z těch parametrických vyjádření poznat, jestli jsou roviny totožné? U obecných rovnic to umím, ale u těch parametrických ne.
Pak jsem počítala ještě další příklady, ty kde jsem měla rovnice rovin v parametrickém tvaru mi ale nevyšly, proto mě napdlo, jestli nemusí být v obecném tvaru.
mám jeden dotaz - když počítám vzájemnou polohu 2 rovin, musím mít rovnice obou rovin v obecném tvaru nebo je můžu mít obě v parametrickém?
Počítala jsem například tenhle příklad:
Rovina č.1:
x=1+3s
y=2r+s
z=-r
Rovina č.2:
x=2t
y=1-t-u
z=u
Dala jsem rovnice do rovnosti, převedla neznámé na jednu stranu a počítala pomocí matic. Vyšlo mi, že hodnosti se rovnají 3, ale počet neznámých je 4, tudíž má rovnice nekonečně mnoho řešení -> u těch rovin to teda znamená, že jsou buď totožné nebo různoběžné(a průnikem je přímka).
Jenže jak mám z těch parametrických vyjádření poznat, jestli jsou roviny totožné? U obecných rovnic to umím, ale u těch parametrických ne.
Pak jsem počítala ještě další příklady, ty kde jsem měla rovnice rovin v parametrickém tvaru mi ale nevyšly, proto mě napdlo, jestli nemusí být v obecném tvaru.
Odpovědi
Diskuze
Jestli jsou roviny totožné zjistíš tak, že jsou rovnoběžné (mají stejný normálový vektor) a libovolně zvolený bod mají společný.
Zvol si tři body a máš tři vektory, pak udělej vektorový součin a máš normálu. Nebo převodem na obecný tvar:
Rovina č.1:
x=1+3s
y=2r+s
z=-r
x=1+3(y-2r)
x=1+3(y+2z)
x-3y-6z-1=0
normálový vektor:
n1(1,-3,-6)
Rovina č.2:
x=2t
y=1-t-u
z=u
x=2(1-u-y)
x=2(1-z-y)
x+2z+2y-2=0
normálový vektor:
n2(1,2,2)
---
n1(1,-3,-6)
n2(1,2,2)
Vektory nejsou rovnoběžné, roviny se protínají (jsou různoběžné).
Průsečnice rovin je přímka, řeší se soustava dvou rovnic o třech neznámých jednu volím jako parametr z=t
x-3y-6z-1=0
x+2y+2z-2=0
z - volím jako parametr: t
x=(6/5)t+(8/5)
y=-(8/5)t+(1/5)
z=t
Pro určení vzájemné polohy rovin postupuješ správně, jen ses zasekla před koncem. Tu soustavu rovnic, co ti vyšla, musíš dořešit. Než jste začali analytickou geometrii, museli jste se učit řešit soustavy rovnic i v případě, že mají nekonečně mnoho řešení, tak toho teď využij. Když má tvoje soustava nekonečně mnoho řešení, máš tam
- buď jednu volitelnou neznámou; dopočítej pomocí ní x, y, z a máš parametrickou rovnici průsečnice (společné přímky) rovin (tu potřebuješ, protože pro vzájemnou polohu NESTAČÍ zjištění, že roviny jsou různoběžné, je nutné najít průsečnici, což Cenobita neudělal);
- nebo dvě volitelné neznámé; pak je zřejmé, že by x, y, z vyšly závislé na dvou nezávislých parametrech, tedy by popisovaly "společnou rovinu" daných rovin, neboli roviny jsou totožné; proto v tomto případě není nutné počítat x, y, z.
Pokud jsou rovnice totožné tak musí být na první pohled z rovnic patrné, že jsou jedna odvoditelná z druhé pomocí nějaké lineární substituce (dosazením substituce do jedné z rovnic) bude jejich tvar stejný (roviny pak budou totožné).
B) a nyní postup (jak jsem slíbil) jak to řešit jen s parametrickou rovnicí:
položíme rovnice obou rovin jako rovnosti (pokud najdeme výsledek, rovnice se protínají, pokud výsledek nenajdeme, rovnice jsou rovnoběžné):
x=x
y=y
z=z
1+3s = 2t
2r+s = 1-t-u
-r = u
2r+5s = 1; výsledek jsme našli, rovnice mají společnou přímku
---------
s = (1-2r)/5; výsledek jsme našli, rovnice mají společnou přímku
------------
Výsledek vrátíme do jedné z původních rovnic buď do 1. nebo do 2. já volím 1. rovnici:
x=1+3s = 1+3(1-2r)/5 = 8/5-6/5r
y=2r+s = 2r+(-2r)/5 = 1/5-8/5r
z=-r
-r=T; upravíme parametr tak, abychom mohli porovnat řešení B) s řešením A)
x=8/5+6/5T
y=1/5+8/5T
z=T
===========
Z uvedeného je vidět že výsledkem řešení je parametrická rovnice přímky, tedy obě roviny se v přímce protínají. (Tento postup nedoporučuji, je složitější.)