Matematický důkaz
Uměl by někdo spočítat důkaz: ∀n∈ℕ:n je liché⇒16|(n4 – 1). Předem děkuji!
Odpovědi
Diskuze
Předpokladem je, že n je liché číslo, pak ho můžeme zapsat jako n=2k+1, kde k ∈ N_0.
Odtud:
n^4-1=(n^2-1)(n^2+1)=[(2k+1)^2-1][(2k+1)^2+1]=(4k^2+4k)(4k^2+4k+2)=4k(k+1)⋅2(2k^2+2k+1)=8k(k+1)(2k^2+2k+1)
Protože jedno z čísel k,(k+1) je určitě sudé, je součin 8k(k+1)(2k^2+2k+1) dělitelný osmi i dvěma a tedy i 16. Tím je platnost věty dokázána.