lineární nezávislost
Pomohl by mi někdo s tímto příkladem? Máme lineární prostor M a máme dokázat, že vektory x a y z M jsou lineárně nezávislé, právě tehdy když jsou také vektory x+y, x+2y lineárně nezávislé.
Moc děkuju
Moc děkuju
Odpovědi
Diskuze
jediny co me napadlo je se oprit o vetu 2.20(7) ze skript ftp://math.feld.cvut.cz/olsak/linal/linal2.pdf, tj. Dva vektory jsou linearne zavisle prave tehdy, kdyz jeden je nasobkem druheho.
Ekvivalenci pak muzu dokazat jako dve implikace:
1) x a y jsou linearne nezavisle => x+y , x+2y linearne nezavisle
to leze dokazat sporem, tj. zneguju vyraz a dojdu ke sporu
negace implikace se ziska takto: ¬(A=>B) je A ∧ ¬B
takze negace dokazovane implikace je vyrok
x,y linearne nezavisle a x+y, x+2y jsou linearne zavisle, t.j x+y je rovno nejakemu nasobku x+2y
x /= n y (/= je nerovna se, nenase jsem to na klavesnici :-)
a
x + y = kx + 2ky
kdyz upravuju tu druhou rovnici tak
x (1-k)= (2k-1) y
x = y (2k-1)/(1/k) -> to je ale spor, x neni nasobek y!!!
2) druha implikace: x+y, x+2y lin. nezav. => x, y lin. nezav.
negace je
x+y, x+2y lin. nezav. a x = ky (x,y jsou je lin. zav)
prepsano do rovnic
x+y /= n (x+2y)
a
x = ky
kdyz si zvolim k = (2m-1)/(1-m) a upravuju druhou rovnici
x = y (2m-1)/(1-m)
x(1-m) = y (2m-1)
x + y = mx + 2my
x + y = m (x+2y) co je opet spor!!!!
tim byly obe implikace dokazany a tedy plati i ekvivalence
Snad jsem tam neudelal nekde chybu a snad je to pochopitelny i z tohohle zapisu