Prostá funkce, důkaz
Ahoj, poradil by mi někdo s tímto příkladem? Máme dokázat, že funkce f(x)=(2x-3)/(x+1) je prostá.
Děkuju
Děkuju
Odpovědi
Diskuze
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3D%282x-3%29%2F%28x%2B1%29
Já bych to zkusil přes asymptoty - svislá je v x=-1 a vodorovná v y=2. Tím se nám graf rozpadne na dva kvadranty každý v jiné části osy y. Nyní už stačí dokázat že v každém kvadrantu je funkce prostá, což jde snadno třeba podle první derivace: f'(x)=5/(x+1)² - tedy konstatní + kladný tedy funkce je na daném intervalu stále ostře rostoucí. V obou kvadrantech prostá, i celá prostá.
A to znamená, že její první derivace musí být v celém definičním oboru D záporná nebo v celém D kladná. Může být v některém jednotlivém bodě i nulová – tam, kde má původní funkce inflexní bod (extrémy vzhledem k monotónnosti mít nemůže).
První derivace té funkce ovšem nesmí být nulová na žádném intervalu (to je to, co chybně pominul Cenobita) – pak sice zkoumaná funkce nemusí mít lokální extrém, ale je v tom intervalu konstantní, a tudíž nikoli prostá –neplatí pro ni, že pro každé x1 ≠ x2 z D je f(x1) ≠ f(x2)