Tři čtvrtě dohromady je nesmysl, jsou to prostě dvě slova.
Čtvrt nebo půl se nepíše (jak pravíš v poslední větě) nijak "dohromady" - je to vždy prostě jedno slovo, tak není žádný důvod ho jakkoliv dělit - řekl bys snad, že třeba "stůl" píšeme dohromady?? Samozřejmě, že nikdo nenapíše "čt vrt" (i když, kdo ví...).
V ČNK (
http://www.korpus.cz/index.php ) je tvar "třičtvrtě" zachycen 88krát, tvar "tři čtvrtě" 915krát - to taky o něčem svědčí...
Příručka
http://prirucka.ujc.cas.cz/?slovo=%C4%8Dtvrt odkazuje na SSJČ, kde jsou všechny příklady jen s rozděleným tvarem a spojený tvar není vůbec uveden. Jediná volba je mezi "tři čtvrtě" a "tři čtvrti".