Rychlost pružinou vystřelených těles

Anonym Hixiwon09.05.2014 14:40 Nahlásit
Mám úkol - dvě válcová tělesa o hmotnosti m1= 120g a m2=300g jsou vystřelena z roury stlačenou pružinou opačnými směry. jaké budou jejich počáteční rychlosti v1 a v2 jestliže energie stlačené pružiny Wp=5J ?
Počítal jsem tak, že jsem si vyjádřil rychlosti ze vzorce Ek=1/2*m*v^2
tzn. v1=odmocnina 5/0,5*0,12
v2=odmocnina 5/0,5*0,3
Správně mají být ty vzorce prý bez 0,5 - v1=odmocnina 5/0,12 a v2=odmocnina 5/0,3
Nějak ale nemůžu pochopit proč?
Děkuji.

Odpovědi

Přidat odpověď ▾

Diskuze

Cenobita.09.05.2014 22:02 (Upr. 09.05.2014 22:37) Nahlásit
1. pružina je stlačena z obou stran, tedy po jejím uvolnění se celková energie pružiny současně přenese do soustavy dvou těles o různých hmotnostech. Zatím nevíme v jakém poměru se energie rozdělí.

2. ale víme, že celková energie se předá dvěma různým tělesům. Myšlenkově přeneseme obě tělesa na jednu stranu pružiny, vytvoříme z nich jedno společné těleso, které necháme vystřelit:

Ek=Ek=1/2*m*v^2 = 1/2*(m1+m2)*v^2 to nám ale dává rychlost spojených těles: v


musí také platit:

Ek=Ek1 + Ek2 = 1/2*(m1+m2)*v^2 =1/2*(m1*v1^2+m2*v2^2)

celková hybnost soustavy:

m=m1+m2

m*v=m1*v1+m2*v2
Anonym Lakugoc11.05.2014 22:01 Nahlásit
Dobrý den,
chtěla bych se zeptat, zda výsledek tohoto příkladu je tedy "v1=odmocnina 5/0,12 a v2=odmocnina 5/0,3". Z odpovědi na dotaz mi to jako schválení nepřijde a při využití uvedených rovnic mi bohužel výše uvedený výsledek rozhodně nevyjde.
Mockrát děkuji za odpověď.
Cenobita.11.05.2014 22:52 Nahlásit
Anonym Lakugoc: no já to ještě nemám vypočítaný ...
Anonym Xezesob12.05.2014 10:34 Nahlásit
Cenobita: Dle reakce Powakiho jsem myslela, že je to vše a že já pouze nechápu... Měla by tam snad být ještě jedna rovnice týkající se pružiny, ale toto už je na mne moc složité. Je možné, že se pak dojde k výsledku uvedenému výše: v1=odmocnina 5/0,12 a v2=odmocnina 5/0,3, ale tento výsledek také vyjde, pokud se celková Ek pouze "podělí dvěma" (pro každé těleso 1/2 Ek)...
Cenobita.12.05.2014 11:01 Nahlásit
No problém je to, že jsem sice sestavil rovnice (snad i správně), ale zatím se mi to nepodařilo vyřešit. Někdy to prostě nejde snadno, když na to přijdu tak to sem dám.
Anonym Xewerob12.05.2014 17:55 Nahlásit
Obávám se, že nelze jen tak přenést obě tělesa na jednu stranu pružiny, protože pak ta soustava vůbec není ekvivalentní s tou původní. Co by v tom případě bylo na druhé straně pružiny?Na co by by působila síla té pružiny na jejím druhém konci? Navíc by to znamenalo, že se obě tělesa budou nakonec pohybovat stejnou rychlostí (jsouce spojena v jedno), což je v jasném rozporu s intuicí :-) Takhle to nepůjde...

Je potřeba se na to dívat jako na uzavřenou soustavu která je na počátku kompletně v klidu, takže má nulovou hybnost a ta se jako nulová taky musí zachovat. Takže na konci děje musí platit

m₁v₁ + m₂v₂ = 0 (vektorově - v₁>0, v₂<0)

v absolutních hodnotách tedy musí obě tělesa nabýt stejnou hybnost:

m₁v₁ = m₂v₂ (1)

Kromě toho, jak již dříve uvedeno, veškerá potenciální energie pružiny se přemění na kinetickou energii těch těles:

Wp = (m₁v₁²)/2 + (m₂v₂²)/2
m₁v₁² + m₂v₂² = 2Wp (2)

Z (1) vyjádříme třeba v₂ a dosadíme do (2)

… (nějaké ty úpravy občas vynechám, to bych se tu upsal...)

m₁v₁² + (m₁/m₂) m₁v₁² = 2Wp
…
v₁² = 2Wp(m₂/m₁)/(m₁ + m₂)

takže

v₁ = √(2Wp(m₂/m₁)/(m₁ + m₂)) (= 7,71 m/s)

a obdobně

v₂ = √(2Wp(m₁/m₂)/(m₁ + m₂)) (= 3,09 m/s)

Rozměrově to sedí, a odpovídá to také intuitivní představě, že poměr rychlosti těles je v obráceném poměru k jejich hmotnostem (obě tělesa totiž dostala stejný impulz síly, jenž se pak musí rovnat změně hybnosti: Ft = m₁v₁ = m₂v₂)

Tak snad je to správně :-)
Přidat komentář do diskuze ▾