Fyzika - Gravitace
Prosím o vypočítání příkladů nevím si s něma rady.
1.Vypočítejte velikost intenzity gravitačního pole Slunce ve vzdálenosti rovné poloměru trajektorie Země kolem Slunce a porovnejte jí s intenzitou gravitačního pole Země na jejím rovníku. Rovníkový poloměr Země je 6 378 km.
2.Určete, v jaké výšce nad povrchem Země je velikost intenzity jejího gravitačního pole rovna právě polovině hodnoty gravitační intenzity na zemském povrchu (RZ = 6 378 km?
3.Jak by se změnila intenzita gravitačního pole na povrchu Země, kdyby se její rozměry při nezměněné hmotnosti zmenšily na polovinu?
4.Měsíc obíhá kolem Země ve střední vzdálenosti přibližně 60 zemských poloměrů (r = 60 RZ). Hmotnost Země je 81−krát větší než hmotnost Měsíce. Na spojnici středů těchto dvou těles najděte místo, kde je intenzita gravitačního pole Země i Měsíce stejně velká.
5.Určete, jak velkou práci musíme vykonat, abychom tuto družici na její dráhu vynesli, je-li její hmotnost 15 t.
6.Vypočítejte rychlost stacionární družice a její výšku nad povrchem Země.
7.Určete rychlost pohybu a dobu jednoho oběhu Země kolem Slunce na kruhové trajektorii o poloměru 149,6.106 km, je-li hmotnost Slunce MS = 1,989.1030 kg.
díky
4.
1.Vypočítejte velikost intenzity gravitačního pole Slunce ve vzdálenosti rovné poloměru trajektorie Země kolem Slunce a porovnejte jí s intenzitou gravitačního pole Země na jejím rovníku. Rovníkový poloměr Země je 6 378 km.
2.Určete, v jaké výšce nad povrchem Země je velikost intenzity jejího gravitačního pole rovna právě polovině hodnoty gravitační intenzity na zemském povrchu (RZ = 6 378 km?
3.Jak by se změnila intenzita gravitačního pole na povrchu Země, kdyby se její rozměry při nezměněné hmotnosti zmenšily na polovinu?
4.Měsíc obíhá kolem Země ve střední vzdálenosti přibližně 60 zemských poloměrů (r = 60 RZ). Hmotnost Země je 81−krát větší než hmotnost Měsíce. Na spojnici středů těchto dvou těles najděte místo, kde je intenzita gravitačního pole Země i Měsíce stejně velká.
5.Určete, jak velkou práci musíme vykonat, abychom tuto družici na její dráhu vynesli, je-li její hmotnost 15 t.
6.Vypočítejte rychlost stacionární družice a její výšku nad povrchem Země.
7.Určete rychlost pohybu a dobu jednoho oběhu Země kolem Slunce na kruhové trajektorii o poloměru 149,6.106 km, je-li hmotnost Slunce MS = 1,989.1030 kg.
díky
4.
Odpovědi
Diskuze
1. Vypočítejte velikost intenzity gravitačního pole Slunce ve vzdálenosti rovné poloměru trajektorie Země kolem Slunce a porovnejte jí s intenzitou gravitačního pole Země na jejím rovníku. Rovníkový poloměr Země je 6 378 km.
--------------------------------------------------------------------------------
gs - gravitační síla Slunce udržuje Zemi na tajektorii o poloměru Rz=1AU
Rz - poloměr dráhy Země kolem Slunce (astronomická jednotka - 1AU)
Ms - hmotnost Slunce
k - gravitační konstanta
gs=k*Ms/(Rz*Rz)
Země oběhne slunce za periodu Tz=365,25 dní; Tz=365,25*35*360 sec
a=an=as - normálové zrychlení na oběžné dráze Země kolem Slunce
vz - oběžná rychlot Země kolem Slunce
as=vz*vz/Rz
o - obvod trajektorie - oběžné dráhy Země
o=2π*Rz
vz=o/Tz
---
Teď to všechno spojíme:
vz=2π*Rz/Tz
as=vz*vz/Rz=(2π*Rz/Tz)*(2π*Rz/Tz)/Rz=4*π*π*Rz/(Tz*Tz)
as=gs
po celkovém dosazení dostaneme rovnici, která dovoluje vyčíslit tzv. gravitační parametr Slunce: μ=k*Ms:
4*π*π*(Rz*Rz*Rz)/(Tz*Tz)=k*Ms
μ=4*π*π*(Rz*Rz*Rz)/(Tz*Tz)=k*Ms
viz
http://cs.wikipedia.org/wiki/Gravita%C4%8Dn%C3%AD_parametr
po dosazení:
Rz=1AU
Tz=Tz=365,25*35*360 sec
μ=k*Ms
μ=4*π*π*(Rz*Rz*Rz)/(Tz*Tz)
Astronomická jednotka:
http://cs.wikipedia.org/wiki/Astronomick%C3%A1_jednotka
Rz=1AU= 1 au = 1 ua = 1 AU = 1 UA = 149 597 870 700 m (přesně)
Když konečně známe gravitační parametr, můžeme vypočítat intenzitu:
gs=k*Ms/(Rz*Rz)
gs=μ/(Rz*Rz)=4*π*π*(Rz*Rz*Rz)/((Tz*Tz)*(Rz*Rz))
gs=μ/(Rz*Rz)=4*π*π*Rz/(Tz*Tz)
gs=4*π*π*(149597870700)/(365,25*35*360*365,25*35*360)=
gs=4*P*P*(149597870700)/(365,25*35*360*365,25*35*360)= 0,27884548013501723413124056555543 m/s
gs(1AU)=0,27884548013501723413124056555543 m/s
===
PS: Intenzita gravitačního pole K=F(r)/m=g(r)
http://cs.wikipedia.org/wiki/Intenzita_gravita%C4%8Dn%C3%ADho_pole
--------------------------------------------------------------------------------
2.Určete, v jaké výšce nad povrchem Země je velikost intenzity jejího gravitačního pole rovna právě polovině hodnoty gravitační intenzity na zemském povrchu (RZ = 6 378 km?
--------------------------------------------------------------------------------
K=g(y)=k*Mz/((Rz+y)*(Rz+y))
gravitační parametr Země: μ=k*Mz=g*Rz*Rz
K=g(y) = μ/((Rz+y)*(Rz+y)) = g*Rz*Rz/((Rz+y)*(Rz+y))
K=1/2*g
dosadíme
K=g*Rz*Rz/((Rz+y)*(Rz+y))
1/2*g=g*Rz*Rz/((Rz+y)*(Rz+y))
kvadratická rovnice:
(Rz+y)*(Rz+y) - 2*Rz*Rz = 0
Rz=6378 000 m
(Rz+y)*(Rz+y) - 2*Rz*Rz = 0
(6378000+y)*(6378000+y) - 2*6378000*6378000 = 0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%286378000%2By%29*%286378000%2By%29+-+2*6378000*6378000+%3D+0
y=6378000*(√2-1) m = 2641,85 km
==================
--------------------------------------------------------------------------------
3. Jak by se změnila intenzita gravitačního pole na povrchu Země, kdyby se její rozměry při nezměněné hmotnosti zmenšily na polovinu?
-------------------------------------------------------------------------------
Rz=6378 000 m
g=9,81 m/s2
gravitační parametr Země: μ=k*Mz=g*Rz*Rz
y=Rz/2
K=g(y) = μ/(y*y)
K=g(y) = g*Rz*Rz/(y*y)
K=g(y) = g*Rz*Rz/(Rz/2)*(Rz/2)
K=g(y) = g/(1/2)*(1/2)=4*g
Gravitační zrychlení by bylo na novém povrchu "Nové Země" ("o polovičním poloměru"), 4x větší než současná gravitace.
-------------------------------------------------------------------------------
4. Měsíc obíhá kolem Země ve střední vzdálenosti přibližně 60 zemských poloměrů (r = 60 RZ). Hmotnost Země je 81−krát větší než hmotnost Měsíce. Na spojnici středů těchto dvou těles najděte místo, kde je intenzita gravitačního pole Země i Měsíce stejně velká.
-------------------------------------------------------------------------------
gz=9,81 m/s2
Rz=6378 000 km = 6378 000 m
Tm=29,5 dní = 29,5*24*3600 sec (oběžná, siderická perioda Měsíce)
Rm=60*Rz
musí platit:
r=x1+x2
gz(x1)=k*Mz/((x1)*(x1))
gm(x2)=k*Mm/((x2)*(x2))
musí platit (v tomto bodě se gravitace vyruší):
gz(x1)=gm(x2)
k*Mz/((x1)*(x1)) = k*Mm/((x2)*(x2))
substituce:
x1=x
x2=r-x
Mz/(x*x) = Mm/((r-x)*(r-x))
Mz*(r-x)*(r-x) = Mm*(x*x)
Mz*(r*r-2rx+x*x) = Mm*(x*x)
Mz=81*Mm
81*Mm*(r*r-2rx+x*x) = Mm*(x*x)
81*(r*r-2rx+x*x) = (x*x)
kvadratická rovnice:
(81*r*r-81*2rx+80*x*x) = 0
dosadíme:
r = 60*Rz
Rz = 6378000 m
(81*60*Rz*60*Rz-81*2*60*Rz*x+80*x*x) = 0
(81*60*6378000*60*6378000-81*2*60*6378000*x+80*x*x) = 0
x=344 412 000 m = 344 412 km
================
-------------------------------------------------------------------------------
Jiná metoda řešení:
Mz*(r-x)*(r-x) = Mm*(x*x)
81*Mm*(r-x)*(r-x) = Mm*(x*x)
81*(r-x)*(r-x) = (x*x)
√(81*(r-x)*(r-x)) = √(x*x)
9*(r-x) = x
9*r=10*x
x=9/10*r
x=9/10*60*Rz
x=9/10*60*6378000=344412000 m
x=344 412 km
============
-------------------------------------------------------------------------------
PS: Tento bod, kde je intenzita gravitačního pole nulová je velmi blízko Měsíce.
Je v poměru 9/10 vzdálenosti Zem-měsíc, to znamená, že jen 1/10 ze vzdálenost tohoto bodu k Měsíci.
viz také zde, ale řeší to trošku jinak:
http://fyzikalniulohy.cz/uloha.php?uloha=517
-------------------------------------------------------------------------------
5. Určete, jak velkou práci musíme vykonat, abychom tuto družici na její dráhu vynesli, je-li její hmotnost 15 t.
-------------------------------------------------------------------------------
1. kosmická rychlost pro R=6378 km = 6378000 m
g=k*M/(R*R)
μ=k*M=g*R*R
g=μ/(R*R)
a=g
a=v*v/R
g=v*v/R
v=√(μ/R)=√(g*R)=7910,005056888396199731250348287 m/s = 7,91 km/s
-------------------------------------------------------------------------------
m=15t=15000 kg
Ek=1/2*m*v*v
Ek=1/2*m*g*R
Ek=1/2*15000*9,81*6378000=469261350000 J = 469261,350000 MJ (mega) = 469,26135 GJ (giga) = 0,46926135 TJ (tera)
===
PS: potřebná energie je ve skutečnosti vyšší, protože družice bude létat na vyšší orbitě, než při povrchu Země
6. Vypočítejte rychlost stacionární družice a její výšku nad povrchem Země.
-------------------------------------------------------------------------------
viz příklad 5.
v=√(μ/R)=√(g*R)=7910,005056888396199731250348287 m/s = 7,91 km/s
geostacionární družice se musí otáčet stejnou úhlovou rychlostí jako Země
T=24 hod = 24*3600 sec
R=R=6378 km = 6378000 m
h=?
ω=2π/T
v=2π*(R+h)/T
v=ω*(R+h)
v=7910,005056888396199731250348287 m/s = 7,91 km/s
v=2π*(R+h)/T
7910,005056888396199731250348287/2π*(24*3600)-6378000=h
7910,005056888396199731250348287/2/P*24*3600-6378000=h
h=102392377,36484249497433993304874 m = 102392,377
7910,005056888396199731250348287/2/P*24*3600-6378000=h
h=102392377,36484249497433993304874 m = 102392 km
-------------------------------------------------------------------------------
viz
http://cs.wikipedia.org/wiki/1._kosmick%C3%A1_rychlost
7. Určete rychlost pohybu a dobu jednoho oběhu Země kolem Slunce na kruhové trajektorii o poloměru 149,6.10^9 km, je-li hmotnost Slunce MS = 1,989.10^30 kg.
--------------------------------------------------------------------------------
Pozor !!! v zadání je chyba protože: Rz=1AU= 1 au = 1 ua = 1 AU = 1 UA = 149 597 870 700 m (přesně)
g=k*M/(R*R)
μ=k*M=g*R*R
g=μ/(R*R)
a=g
a=v*v/R
g=v*v/R
v=√(μ/R)=√(g*R)
v=√(μ/R)=√(k*M/R)
1AU=149 597 870 700
R=149,6*10^6 (= 1AU) = 149,6e9
Ms = 1,989*10^30 kg = 1,989e30 kg
k=6,67*10−11 = 6,67e−11
v=√(k*M/R)
v=√(6,67e−11*1,989e30/149,6e9)=29779,301841746024751921000975144 m/s
v=29,779301841746024751921000975144 km/s
====
ω=2π/T
v=2π*R/T
v=ω*R
T=2π*R/v
T=2*P*149,6e9/29779,301841746024751921000975144=31564357,248845226383355066091698 sec
T=31564357,248845226383355066091698 sec
T=365,328208898671601659202153839 dní
===
--------------------------------------------------------------------------------
T = 2π*R/v = 2π*R/√(μ/R) = 2π*R/√(k*M/R)
T*T = 2π*2π*R*R/(k*M/R)
T*T/R*R*R = 2π*2π/(k*M) = 2π*2π/μ = konst.
T²/R³ = 2π*2π/(k*M) = 2π*2π/μ = konst.
T²/R³ = 4π²/(k*M) = 4π²/μ = konst.
Tuto rovnici odvodil J. Kepler (3. Keplerův zákon)
==============================
viz
http://cs.wikipedia.org/wiki/Keplerovy_z%C3%A1kony
1/(R³ω²) = μ