Na vodorovné rovině stojí vedle sebe dva sudy stejné výšky h0 = 1,00 m. První sud má objem V1 = 600 l a průměr d1, druhý
Je to příklad z fyzikální olympiády. Už je po termínu odevzdání, ale mne by stejně zajímalo jak to mám vyřešit, kdo mi poradí?
Odpovědi
Diskuze
sud má objem V1 = 600 l a průměr d1, druhý má průměr d2 = d1/2. Oba sudy
jsou propojené ve třetině výšky vodorovnou trubicí s uzávěrem.
a) Velký sud je zcela naplněný vodou, druhý prázdný. Určete objem vody,
která proteče do menšího sudu po otevření uzávěru.
b) Malý sud je zcela naplněný vodou, velký prázdný. Určete objem vody, která
proteče do většího sudu po otevření uzávěru.
c) Určete v obou případech změnu potenciální energie vody při protečení.
Hustota vody je ̺ = 1 000 kg·m−3
. Tloušťku pláště a dna obou sudů zanedbejte.
h=1 m
V1=600 l (objem většího sudu)
========
V2=?
d2=d1/2
V1=Pi*h*d1*d1/4
V2=Pi*h*d2*d2/4=Pi*h*d1*d1/16
V2=1/4*V1
V2=1/4*600 = 150 l (objem menšího sudu)
==================
Po té co se voda začně přelévat z 1. sudu do 2. sudu, nastane rovnováha, při které se musejí hladiny vyrovnat.
musí platit
y1=y2=y
objemy po vyrovnání:
V1'=Pi*y1*d1*d1/4
V2'=Pi*y1*d2*d2/4=Pi*y1*d1*d1/16
V1'=Pi*y*d1*d1/4
V2'=Pi*y*d1*d1/16
a musí platit:
V1=V1'+V2'
Pi*h*d1*d1/4 = Pi*y*d1*d1/4 + Pi*y*d1*d1/16
4*h*d1*d1 = 4*y*d1*d1 + y*d1*d1
4*h = 4*y + y
4*h = 5*y
y=4/5*h
---
V1'= Pi*y1*d1*d1/4 = Pi*y*d1*d1/4 = Pi*4/5*h*d1*d1/4 = 4/5 * V1
V1'= 4/5 * 600 = 480 l (objem vody ve větším sudu po vyrovnání hladin)
=======================
V2'= Pi*y*d1*d1/16 = Pi*4/5*h*d1*d1/16 = 4/5 * V2
V2'= 4/5 * 150 = 120 l (objem vody v menším sudu po vyrovnání hladin)
======================
kontrola:
V2'= V1-V1'= V1 - 4/5 * V1 = 1/5 * V1
V2'= 1/5 * 600 = 120 l (objem vody v menším sudu po vyrovnání hladin)
=======================
h=1 m
V1=600 l (objem většího sudu)
========
V2=?
d2=d1/2
V1=Pi*h*d1*d1/4
V2=Pi*h*d2*d2/4=Pi*h*d1*d1/16
V2=1/4*V1
V2=1/4*600 = 150 l (objem menšího sudu)
==================
Po té co se voda začně přelévat z 2. sudu do 1. sudu, nastane rovnováha, při které se musejí hladiny vyrovnat.
musí platit
y1=y2=y
objemy po vyrovnání:
V1'=Pi*y1*d1*d1/4
V2'=Pi*y1*d2*d2/4=Pi*y1*d1*d1/16
V1'=Pi*y*d1*d1/4
V2'=Pi*y*d1*d1/16
a musí platit:
V2=V1'+V2'
Pi*h*d1*d1/16 = Pi*y*d1*d1/4 + Pi*y*d1*d1/16
h = 4*y + y
h = 5*y
y=1/5*h
protože:
1/5*h < 1/3*h
není možné aby se hladiny vyrovnaly, musí být tedy v sudech rozdíl hladiny
takže neplatí: y1=y2=y
takže platí: y1 <> y2
y2=1/3*h
---
V2'= Pi*y2*d1*d1/16 = Pi*1/3*h*d1*d1/16 = 1/3 * V2
V2'= 1/3 * 150 = 50 l (objem vody v menším sudu po vytečení menšího sudu k přepadu)
======================
kontrola:
V1'= V2-V2'= V2 - 1/3 * V2 = 2/3 * V2
V1'= 2/3 * 150 = 100 l (objem vody ve větším sudu po vytečení menšího sudu k přepadu)
=======================
---
V1=Pi*h*d1*d1/4
V1'=Pi*y1*d1*d1/4
---
V1'=V1/h*y1
100=600/1*y1
y1=1/6*h
y1=1/6 m
========
chyba b): OPRAVENO
PS: výpočtem bylo zjištěno že:
v Příkladu a) y1=y2=y; y1=4/5*h; y2=4/5*h
y - je neznámá výška hladiny při které dojde k vyrovnání hladin (y1=y2=y) v obou sudech
v Příkladu b) y2=1/3*h; y1=1/6*h
y1 - je neznámá výška hladiny v sudu č. 1
y2 - je neznámá výška hladiny v sudu č. 2
V menším sudu je hladina y2 rovna výšce umístění přepadu (voda vyteče z menšího sudu k přepadu a více vody už nepřetéká - voda už není nad přepadem k dispozici, pod přepadem voda nemůže opustit sud č. 2)
podle příkladu a) musí voda udělat tuto změnu (přeteče 120 l):
V1= 600 l > V1'= 480 l
V2'= 0 l > V2'= 120 l = 0,12 m3
tedy přeteče ze sudu č. 1 do sudu č. 2 120 l vody z výšky y2=y=4/5*h a zaujme výšku hladiny y1=y=4/5*h
ρ(H2O) = 1 000 kg·m−3
g= 10 m/s2
Ep1=m*g*y
Ep1=ρ*V2'*g*4/5*h
Ep1=ρ*V2'*g*4/5*h
Ep1=1000*0,12*10*4/5*1=960
Ep1=960 J
=========
---
podle příkladu b) musí voda udělat tuto změnu (přeteče 100 l):
V2= 150 l > V2'= 50 l
V1'= 0 l > V1'= 100 l = 0,1 m3
tedy přeteče ze sudu č. 2 do sudu č. 1 100 l vody z výšky y2=1/3*h a zaujme výšku hladiny y1=1/6*h, ale současně se dostane pod úroveň přepadu o 1/6*h (tedy celková změna potenciální energie bude vyšší o výšku o kterou se voda dostane pod přepad)
y=(1/3*h + 1/6*h)
ρ(H2O) = 1 000 kg·m−3
g= 10 m/s2
Ep2=m*g*y=ρ*V1'*g*(1/3*h + 1/6*h)
Ep2=ρ*V1'*g*3/6*h
Ep2=1000*0,1*10*3/6*1=500
Ep2=500 J
=========
V1'= 2/3 * 150 = 100 l (objem vody ve větším sudu po vytečení menšího sudu k přepadu)