Doplňování čísel do trojúhelníku
Ja se prosím řeší tato úloha z testů na přijímačky? Jak se nalezne řešení, aniž by se muselo zkoušet velké množství kombinací?
číselný trojúhelník
Odpovědi
Diskuze
6
8 7
1 3 4 5 2
Mořil jsem se s tím snad 1/2 hodiny a stejně z toho moudrý nejsem! :-O Myslím, že jsem měl s nalezením řešení štěstí. Jak to ti páťáci sakra řeší v mnohem kratším čase??
Můj postup:
- zbavit se velkých čísel (7,8) hned na začátku. Jsou moc velká, tak každé hodit do samostatné větve (nemohou být ve stejné větvi, protože menší čísla v jiných větvích/stranách by nedosáhla svým součtem na jejich součet)
- přidat k nim do větve dvojici čísel, která se liší o 1 (menší půjde k osmičce, větší k sedmičce)
- koukat, kolik vychází dole, zmenšovat/zvětšovat tu dvojici přihazovanou k 7 a 8 a případně přehazovat pořadí čísel v těch stranových větvích (6-8-1 vs 6-1-8)
Dělal jsem asi 15-20 pokusů. Nevím, jestli začínat velkými čísly je ten správný postup.
Nejdříve jsem tu úlohu zkoušel vyřešit rovnicemi. Nikam to nevedlo. Příliš mnoho proměnných.
Mám technickou VŠ a nejsem chytřejší než páťák. :-(
Takže nám zbývá jen zvolit vhodné pořadí číslic (B,C), aby nám vyšel součet 15 pro strany:
AEB = 6+8+x = 15 (x=1)
ADC = 6+7+x = 15 (x=2)
a pořadí číslic FGH může být libovolné.
Objektivně přiznávám, že můj výše uvedený postup byl ovlivněn znalostí výsledku (byť možná na podvědomé úrovni), ale více by mě zajímalo, zda je to opravdu učivo 5. třídy (tazatel píše "přijímací test").
Zde je přepsáno do "hezčího" tvaru:
6
7 8
2 3 4 5 1
Součet čísel 1 až 8 je (8/2).(1+8) = 36
Na nic jsem ale nepřišel.
Na druhou stranu jsem věděl, že součet bude mezi 15 (1+2+3+4+5) a 21 (6+7+8). To mi k řešení moc nepomohlo kromě potvrzení, že velká čísla nemohou být blízko sebe (v jedné straně). Proto jsem je při prvním nástřelu dal do vrcholů a později je začal prohazovat s prostředním číslem ve větvi, až nakonec obě skončila uprostřed.
Jak se to ale má řešit "správně", to netuším.
Děkuju všem za diskuzi. Je to z knihy nakladatelství Didaktis Testy 2018 z Matematiky pro žáky 5. a 7. tříd ZŠ.
Postupoval jsem podobně jako Anonym Vivuxun, ale pořád to bylo hodně zkoušení a vlastně nevím, jak zdůvodnit, že se má začít 7 a 8 v postranních ramenech.
Objevil jsem v Rozšířeném klíči od Didaktisu "řešení":
"Výhodné je začít umístěním největších dvou čísel, přičemž tato dvě čísla nemohou být současně umístěna na stejné straně trojúhelníku"
Víc tam není.
Tak ve výchozím stavu máme:
A = 6
E = 8 (nevyšší)
D = 7 (druhé nejvyšší)
B, F, G, H, C = ostatní čísla (1-5), jejich součet je 15
Tak víme, že "zakladnu" (B, F, G, H, C) tvoří součet 15 a je potřeba upravit "ramena" na součet 15 tak, že na základně můžeme čísla přemisťovat.
Součet čísel (1 až 8) je 36.
Základna (5 čísel): 7+8+1+2+3=21
Zůstávají nám čísla 4, 5, 6.
Levé rameno: 6+4=10
Pravé rameno: 6+5=11
6
4 5
8 1 2 3 7
ti dává součty 18, 18, 21 což není až tak hrozné, ale ukazuje to, že 7 a 8 nemohou být současně obě dole. Alespoň jedno musí nahoru (prohodit 4-8 anebo 5-7)
Lze jen dokázat, že nemohou být na stejném rameni trojúhelníka (druhé rameno by se zbylými [menšími] čísly nikdy nemohlo dát stejný součet).
Není ale jasné, jestli tak má každé z nich být v jednom rameni (například ve vrcholu) nebo jestli jedno nebo obě mohou být třeba uprostřed spodní strany. Výpočet v předchozím příspěvku ukazuje, že obě nemohou být SOUČASNĚ dole. Které ale má jít nahoru není jasné.
Tzn. že ta kostra klidně může vypadat takto:
6
8 x
x x 7 x x
(dal jsem dolu sedmičku, která přispívá do součtu 5ti čísel méně než osmička)
6
8 x
x x 7 x x
dává jediné rozumné řešení se 4 a 5 (největší zbylá čísla) v pravém rameni, kde vyvažují tu osmičku vlevo. Pod osmičkou vyjde 1, aby součet v ramenech byl stejný.
6
8 5
1 2 7 3 4
Součty jsou 15, 15, 17 a je tedy vidět, že sedmička nemůže být uprostřed spodní řady.
Ani druhé z velkých čísel tedy nemůže být uprostřed spodní řady a musí být součástí pravého ramena trojúhelníku, ať už ve vrcholu nebo uprostřed.
1. To třetí číslo mi nevypadlo, hrubým nástřelem jsem poukázal, že to třetí číslo v ramenu by muselo být vyšší než 10, ale máme čísla jen 1-8. Tolik k upřesnění mojich myšlenkových pochodů.
2. Zadání vnímám jako "vyřešte" a nikoli "kolik je možných kombinací". Tím chci vyjádřit, že si v matematice nelibuji a mám velký obdiv k těm jedincům, kteří mají ten dar a zároveň zůstali "normální" (podobně jako v jiných oborech) - milý Vivuxune, vás řadím mezi ty normální - to jen pro úplnost.
3. Jen "puntíčkářství" z mé strany:
> Součty jsou 15, 15, 17 a je tedy vidět, že sedmička nemůže být uprostřed spodní řady.
Nejde o to že "uprostřed", ale že tam nesmí být vůbec - vnímám to jako překlep, myšlenku jsem pochopil a opravdu si vážím vaši zapálenost.
Nyní si už dovolim tvrdit, že jiná kombinace, než součet 15 asi neexistuje, ale to je pro mě "akademická debata" mimo můj "mentální rozsah" :) Možná existuje nějaký univerzální model/vzorec, ale já se k tomu stavím tak, že začínám od "největších kusů" a těmi menšími pak vyplňuji "prázdný prostor" - to je takový ten přístup "od lesa".
@Fytobuz: jen bych chtěl vyzdvihnout vaši člověčinu: "...moje dvě VŠ technického směru mi jsou na úkol pro pátou třídu k ničemu..." - jednak pobavilo (nikoli škodoradost), ale vyprovokovalo Vivuxuna vyřešit dotaz z roku 2018.
Opět jedna příjemná debata na Ontole, děkuji všem.
Zde to sice bylo nevyřešené, ale Fytobuz to mnohonásobným zkoušením doma vyřešil a sem se přišel poradil, jestli to jde vyřešit nějak přímočařeji, cíleně. Jsem rád, že se nám pár pěkných pravidel podařilo objevit.
Mě by spíše zajímalo, jak @Fytobuz tuhle diskuzi našel. Původní dotaz je zadaný jako obrázek. Že by se trefil na Googlu do klíčových slov nebo dokonce fráze z 1.příspěvku?
8 5
1 2 7 3 4
> > Součty jsou 15, 15, 17 a je tedy vidět, že sedmička nemůže být uprostřed spodní řady.
> Nejde o to že "uprostřed", ale že tam nesmí být vůbec - vnímám to jako překlep
Nejde o překlep. Opravdu jsem připouštěl umístění 7 ve vrcholu. Nedokázal jsem bez násobného zkoušení kombinací odvodit, jestli přítomnost sedmičky dole je nepřípustná.
Zde jsou velmi blízká skoro-řešení se sedmičkou v rohu:
6
8 4
3 1 2 5 7
(součty 17,17,18)
a
6
8 5
4 1 2 3 7
(součty 18,18,17)
> To třetí číslo mi nevypadlo, hrubým nástřelem jsem poukázal, že to třetí číslo v ramenu by muselo být vyšší než 10
Aha, tento myšlenkový postup mi původně unikl. Zajímavý náhled na problém.
Znova díky všem.
"Mě by spíše zajímalo, jak @Fytobuz tuhle diskuzi našel. Původní dotaz je zadaný jako obrázek."
Přesně to jsem sem ještě chtěl napsat, protože je to zajímavé:
Napsal jsem část zadání do Google (už nevím, jestli v uvozovkách nebo ne) a nic se nenašlo. Tak jsem kliknul na "Obrázky" a bylo to na prvním místě. Google tedy evidentně čte text v obrázcích.
Teď jsem se to snažl zopakovat, ale už mi to nejde, úloha na Ontole se nenajde, ale naopak se najde zadnání (bez řešení) jinde, které jsem před tím nenašel.
Abych to Google ulehčil, napíšu sem zadání v textové podobě pro další nešťastníky, kteří budou hledat pomoc v budoucnu. Nepochybuji, že jich bude dost.
Úloha z knihy nakladatelství Didaktis Testy 2018 pro žáky 5. a 7. tříd ZŠ, test 5, úloha 13:
Každé z písmen A-H v trojúhelníkovém schématu má být nahrazeno jedním z přirozených čísel od 1 do 8 tak, aby součty čísel na stranách trojúhelníku byly stejné. Žádná dvě písmena nesmí být nahrazena stejným číslem. Písmeno A má být nahrazeno číslem 6.