| Nahlásit

Doplňování čísel do trojúhelníku

Ja se prosím řeší tato úloha z testů na přijímačky? Jak se nalezne řešení, aniž by se muselo zkoušet velké množství kombinací?
číselný trojúhelník
číselný trojúhelník
Diskuze
| Nahlásit
Mají se doplnit čísla od 1-8 tak, aby součet na každé straně byl stejný a písmeno A se má nahradit číselm 6.
| Nahlásit
Nevíte prosím někdo řešení tohoto úkolu? Mořím se s tím už snad hodinu a nevím, moje dvě VŠ technického směru mi jsou na úkol pro pátou třídu k ničemu :-(. Jak tohle řešit, aniž bychom to jen tak zkoušeli?
| Nahlásit
WTF!

6
8 7
1 3 4 5 2

Mořil jsem se s tím snad 1/2 hodiny a stejně z toho moudrý nejsem! :-O Myslím, že jsem měl s nalezením řešení štěstí. Jak to ti páťáci sakra řeší v mnohem kratším čase??

Můj postup:
- zbavit se velkých čísel (7,8) hned na začátku. Jsou moc velká, tak každé hodit do samostatné větve (nemohou být ve stejné větvi, protože menší čísla v jiných větvích/stranách by nedosáhla svým součtem na jejich součet)
- přidat k nim do větve dvojici čísel, která se liší o 1 (menší půjde k osmičce, větší k sedmičce)
- koukat, kolik vychází dole, zmenšovat/zvětšovat tu dvojici přihazovanou k 7 a 8 a případně přehazovat pořadí čísel v těch stranových větvích (6-8-1 vs 6-1-8)

Dělal jsem asi 15-20 pokusů. Nevím, jestli začínat velkými čísly je ten správný postup.

Nejdříve jsem tu úlohu zkoušel vyřešit rovnicemi. Nikam to nevedlo. Příliš mnoho proměnných.

Mám technickou VŠ a nejsem chytřejší než páťák. :-(
| Nahlásit
Mám technickou SŠ, od školy daleko a k důchodu blíže. Když máme použít čísla 1-8 a na vrcholu je 6, tak bych postupoval podobně: na E a D bych dal nejvyšší = 8, 7 (nebo 7, 8). Zůstala nám čísla 1 až 5, jejich součet je 15.
Takže nám zbývá jen zvolit vhodné pořadí číslic (B,C), aby nám vyšel součet 15 pro strany:
AEB = 6+8+x = 15 (x=1)
ADC = 6+7+x = 15 (x=2)
a pořadí číslic FGH může být libovolné.

Objektivně přiznávám, že můj výše uvedený postup byl ovlivněn znalostí výsledku (byť možná na podvědomé úrovni), ale více by mě zajímalo, zda je to opravdu učivo 5. třídy (tazatel píše "přijímací test").
| Nahlásit
Hodně mých pokusů bylo se 7 a 8 ve vrcholech (buď oba nebo jen jeden), než jsem zjistil, že to nemůže fungovat (i když to skoro vychází - součet dole byl jen o 1 větší!)
| Nahlásit
To výše uvedené řešení je zapsáno tak, jak to vypadlo z mých pokusů.

Zde je přepsáno do "hezčího" tvaru:

6
7 8
2 3 4 5 1
| Nahlásit
Mě při řešení zajímalo, jestli předem jde nějak určit, kolik by součet na každé straně měl být.

Součet čísel 1 až 8 je (8/2).(1+8) = 36

Na nic jsem ale nepřišel.

Na druhou stranu jsem věděl, že součet bude mezi 15 (1+2+3+4+5) a 21 (6+7+8). To mi k řešení moc nepomohlo kromě potvrzení, že velká čísla nemohou být blízko sebe (v jedné straně). Proto jsem je při prvním nástřelu dal do vrcholů a později je začal prohazovat s prostředním číslem ve větvi, až nakonec obě skončila uprostřed.

Jak se to ale má řešit "správně", to netuším.
| Nahlásit
Tady Anonym Fytobuz.
Děkuju všem za diskuzi. Je to z knihy nakladatelství Didaktis Testy 2018 z Matematiky pro žáky 5. a 7. tříd ZŠ.
Postupoval jsem podobně jako Anonym Vivuxun, ale pořád to bylo hodně zkoušení a vlastně nevím, jak zdůvodnit, že se má začít 7 a 8 v postranních ramenech.

Objevil jsem v Rozšířeném klíči od Didaktisu "řešení":
"Výhodné je začít umístěním největších dvou čísel, přičemž tato dvě čísla nemohou být současně umístěna na stejné straně trojúhelníku"
Víc tam není.
| Nahlásit
Tak ta nápověda je dostačující a postup jak popsal Fudokyp.
Tak ve výchozím stavu máme:
A = 6
E = 8 (nevyšší)
D = 7 (druhé nejvyšší)
B, F, G, H, C = ostatní čísla (1-5), jejich součet je 15

Tak víme, že "zakladnu" (B, F, G, H, C) tvoří součet 15 a je potřeba upravit "ramena" na součet 15 tak, že na základně můžeme čísla přemisťovat.
| Nahlásit
No to je pěkný, ale jak má člověk přijít na to, že se má začít 7 a 8 v postranních ramenech?
| Nahlásit
Vždy je lepší začít nejvyššími, zvláště, když na "základně" je větší počet čísel než na ramenou. Součet pěti čísel na základně při použití nejvyších (7, 8) by byl obrovský. Lépe to popsat/vysvětlit neumím.
| Nahlásit
Takto by vypadal první nástřel, pokud použijeme největší čísla v základně:
Součet čísel (1 až 8) je 36.
Základna (5 čísel): 7+8+1+2+3=21
Zůstávají nám čísla 4, 5, 6.
Levé rameno: 6+4=10
Pravé rameno: 6+5=11
| Nahlásit
@Lakebiz: nějak ti v těch součtech ramen vypadlo to 3.číslo :-)
6
4 5
8 1 2 3 7

ti dává součty 18, 18, 21 což není až tak hrozné, ale ukazuje to, že 7 a 8 nemohou být současně obě dole. Alespoň jedno musí nahoru (prohodit 4-8 anebo 5-7)
| Nahlásit
"Postupy" řešení od Fudokypa a Lakebize předpokládají, že 7 a 8 jsou uprostřed stran, což nelze předem nijak dokázat.

Lze jen dokázat, že nemohou být na stejném rameni trojúhelníka (druhé rameno by se zbylými [menšími] čísly nikdy nemohlo dát stejný součet).

Není ale jasné, jestli tak má každé z nich být v jednom rameni (například ve vrcholu) nebo jestli jedno nebo obě mohou být třeba uprostřed spodní strany. Výpočet v předchozím příspěvku ukazuje, že obě nemohou být SOUČASNĚ dole. Které ale má jít nahoru není jasné.
| Nahlásit
> obě nemohou být SOUČASNĚ dole. Které ale má jít nahoru není jasné.

Tzn. že ta kostra klidně může vypadat takto:
6
8 x
x x 7 x x

(dal jsem dolu sedmičku, která přispívá do součtu 5ti čísel méně než osmička)
| Nahlásit
Ta kostra

6
8 x
x x 7 x x

dává jediné rozumné řešení se 4 a 5 (největší zbylá čísla) v pravém rameni, kde vyvažují tu osmičku vlevo. Pod osmičkou vyjde 1, aby součet v ramenech byl stejný.

6
8 5
1 2 7 3 4

Součty jsou 15, 15, 17 a je tedy vidět, že sedmička nemůže být uprostřed spodní řady.

Ani druhé z velkých čísel tedy nemůže být uprostřed spodní řady a musí být součástí pravého ramena trojúhelníku, ať už ve vrcholu nebo uprostřed.
| Nahlásit
Hlásí se "Lakebiz" s poslední reakcí :)

1. To třetí číslo mi nevypadlo, hrubým nástřelem jsem poukázal, že to třetí číslo v ramenu by muselo být vyšší než 10, ale máme čísla jen 1-8. Tolik k upřesnění mojich myšlenkových pochodů.

2. Zadání vnímám jako "vyřešte" a nikoli "kolik je možných kombinací". Tím chci vyjádřit, že si v matematice nelibuji a mám velký obdiv k těm jedincům, kteří mají ten dar a zároveň zůstali "normální" (podobně jako v jiných oborech) - milý Vivuxune, vás řadím mezi ty normální - to jen pro úplnost.

3. Jen "puntíčkářství" z mé strany:
> Součty jsou 15, 15, 17 a je tedy vidět, že sedmička nemůže být uprostřed spodní řady.
Nejde o to že "uprostřed", ale že tam nesmí být vůbec - vnímám to jako překlep, myšlenku jsem pochopil a opravdu si vážím vaši zapálenost.

Nyní si už dovolim tvrdit, že jiná kombinace, než součet 15 asi neexistuje, ale to je pro mě "akademická debata" mimo můj "mentální rozsah" :) Možná existuje nějaký univerzální model/vzorec, ale já se k tomu stavím tak, že začínám od "největších kusů" a těmi menšími pak vyplňuji "prázdný prostor" - to je takový ten přístup "od lesa".

@Fytobuz: jen bych chtěl vyzdvihnout vaši člověčinu: "...moje dvě VŠ technického směru mi jsou na úkol pro pátou třídu k ničemu..." - jednak pobavilo (nikoli škodoradost), ale vyprovokovalo Vivuxuna vyřešit dotaz z roku 2018.

Opět jedna příjemná debata na Ontole, děkuji všem.
| Nahlásit
> vyprovokovalo Vivuxuna vyřešit dotaz z roku 2018

Zde to sice bylo nevyřešené, ale Fytobuz to mnohonásobným zkoušením doma vyřešil a sem se přišel poradil, jestli to jde vyřešit nějak přímočařeji, cíleně. Jsem rád, že se nám pár pěkných pravidel podařilo objevit.

Mě by spíše zajímalo, jak @Fytobuz tuhle diskuzi našel. Původní dotaz je zadaný jako obrázek. Že by se trefil na Googlu do klíčových slov nebo dokonce fráze z 1.příspěvku?
| Nahlásit
6
8 5
1 2 7 3 4

> > Součty jsou 15, 15, 17 a je tedy vidět, že sedmička nemůže být uprostřed spodní řady.
> Nejde o to že "uprostřed", ale že tam nesmí být vůbec - vnímám to jako překlep

Nejde o překlep. Opravdu jsem připouštěl umístění 7 ve vrcholu. Nedokázal jsem bez násobného zkoušení kombinací odvodit, jestli přítomnost sedmičky dole je nepřípustná.

Zde jsou velmi blízká skoro-řešení se sedmičkou v rohu:

6
8 4
3 1 2 5 7
(součty 17,17,18)

a

6
8 5
4 1 2 3 7
(součty 18,18,17)
| Nahlásit
@Lakebiz:
> To třetí číslo mi nevypadlo, hrubým nástřelem jsem poukázal, že to třetí číslo v ramenu by muselo být vyšší než 10

Aha, tento myšlenkový postup mi původně unikl. Zajímavý náhled na problém.
| Nahlásit
Tady Anonym Fytobuz.
Znova díky všem.

"Mě by spíše zajímalo, jak @Fytobuz tuhle diskuzi našel. Původní dotaz je zadaný jako obrázek."
Přesně to jsem sem ještě chtěl napsat, protože je to zajímavé:
Napsal jsem část zadání do Google (už nevím, jestli v uvozovkách nebo ne) a nic se nenašlo. Tak jsem kliknul na "Obrázky" a bylo to na prvním místě. Google tedy evidentně čte text v obrázcích.
Teď jsem se to snažl zopakovat, ale už mi to nejde, úloha na Ontole se nenajde, ale naopak se najde zadnání (bez řešení) jinde, které jsem před tím nenašel.

Abych to Google ulehčil, napíšu sem zadání v textové podobě pro další nešťastníky, kteří budou hledat pomoc v budoucnu. Nepochybuji, že jich bude dost.

Úloha z knihy nakladatelství Didaktis Testy 2018 pro žáky 5. a 7. tříd ZŠ, test 5, úloha 13:
Každé z písmen A-H v trojúhelníkovém schématu má být nahrazeno jedním z přirozených čísel od 1 do 8 tak, aby součty čísel na stranách trojúhelníku byly stejné. Žádná dvě písmena nesmí být nahrazena stejným číslem. Písmeno A má být nahrazeno číslem 6.
 Anonym
Odpovídat lze i bez registrace. Dodržujte pravidla Ontoly
Vložit: Obrázek