priklady z fyziky
Bod se pohybuje přímočaře po ose x se zrychlením a = k^2x, k = konst. Určete závislost
dráhy na čase, je-li v čase t = 0 s poloha bodu x = 0 m a rychlost v = v0.
poprosim o pomoc s tymto prikladom
vysledky
x = v0(e^kt – e^–kt )/(2k)
dráhy na čase, je-li v čase t = 0 s poloha bodu x = 0 m a rychlost v = v0.
poprosim o pomoc s tymto prikladom
vysledky
x = v0(e^kt – e^–kt )/(2k)
Odpovědi
Diskuze
a = k^2 * x
a=dv/dt
dv/dt=k^2 * x
dv*(1/dt)=k^2 * x
v=dx/dt
v/dx=1/dt
dv*(v/dx) = k^2 * x
dv*v = k^2 * x*dx
1. integrace
A - integrační konstanta
v²/2 = k^2 * x²/2 + k^2*A/2
v = k*√(x² + A)
v=dx/dt
dx/dt = k*√(x² + A)
diferenciální rovnice: viz: Poznámka 1, dole
dx/√(x² + A) = k*dt
https://www.wolframalpha.com/input/?i=dx%2F%E2%88%9A%28x%C2%B2+%2B+A%29+%3D+k*dt
řešení:
x=1/2*( e^(C1+k*t) - A*e^(-C1-k*t) )
podmínky (1):
x=0; v=v0; t=0
x=1/2*( e^(C1+k*t) - A*e^(-C1-k*t) )
0=1/2*( e^(C1+k*0) - A*e^(-C1-k*0) )
e^(C1) * e^(C1) = A
x=1/2*( e^(C1+k*t) - A*e^(-C1-k*t) )
x=1/2*e^(C1) * (e^(k*t) - e^(-k*t) )
podmínky (2):
v = k*√(x² + A)
v0 = k*√(0² + A)
(v0/k)² = A
(v0/k)=e^(C1)
-------------
x=1/2*(v0/k) * (e^(k*t) - e^(-k*t) )
====================================
∫ dx/√(x² + A) = ln( |x + √(x² + A)| ) + C
https://cs.wikipedia.org/wiki/Derivace
ln( |x + √(x² + A)| ) = k*t + C
Další úpravou přejdeme na:
ln( |x + √(x² + A)| ) = k*t + C
v = k*√(x² + A)
ln( |x + v/k| ) = k*t + C
v=dx/dt = x'
ln( |x + x'/k| ) = k*t + C
x + x'/k = e^(k*t + C)
k*x + x' = k*e^(k*t + C)
což je lineární dif. rovnice s pravou stranou, která již je řešitelná
Řešení hledat ve tvaru: x = e^{α*t}, [-> x" = α²*e^(α*t)], po dosazení do zadané rovnice
α²*e^(α*t) - k²*α²*e^(α*t) = 0 -> char. rovnice α² - k² = 0,
-> α1 = k, α2 = -k, -> obecné řešení:
x = C1*e^(k*t) + C2*e^(-k*t)
a jeho první derivace:
x' = C1*k*e^(k*t) - C2*k*e^(k*t)
Určení konstant z počátečních podmínek:
x(0) = 0 -> C1 + C2 = 0
x'(0) = v0 -> C1 - C2= v0/k
-> C1 = v0/(2k), C2 = - v0/(2k)
Takže řešení bude:
x = v0*(e^(kt) - e^(-kt))/(2k)