fyzika- výpočet průměrné rychlosti

Anonym Foxocuq01.10.2021 20:22 Nahlásit
Prosím o pomoc s tímto zdánlivě jednoduchým příkladem. Běžec při tréninku uběhl jeden okruh průměrnou rychlostí 4 km/h. Jakou rychlostí musí běžet druhý okruh, aby jeho průměrná rychlost ze dvou okruhů byla 8 km/h? Selským rozumem mi vychází, že 12 km/h, ale nejde mi to dosadit do vzorce pro výpočet průměrné rychlosti (ne aritmetický průměr...).

Odpovědi

Přidat odpověď ▾

Diskuze

Cenobita.01.10.2021 21:40 Nahlásit
s1=s
v1=4 km/h
t1=s1/v1

s2=s
v2=?
t2=s2/v2


vp=8 km/h

vp=s/t
vp=(s1+s2)/(t1+t2)
vp=(s+s)/((s1/v1)+(s2/v2))
vp=(2s)/((s/v1)+(s/v2))
vp=(2)/((1/v1)+(1/v2))
8=2 / ( 1/4 + 1/v2 )
1/4=1/4 + 1/v2

Tak jak je úloha zadaná by musel druhý okruh běžet nekonečnou rychlostí.
Anonym Foxocuq01.10.2021 21:55 Nahlásit
že jo..., mě to tak taky vycházelo :-) je to z fyziky pro 7. třídu ZŠ :-)
Cenobita.01.10.2021 22:00 Nahlásit
Myslím že tam je nějaká chyba v zadání, protože takto by to neměli zadávat.
Anonym Hohiwiv01.10.2021 22:06 Nahlásit
Taky se mi to zdá divné. Šel bych na to aritmetickým průměrem, nebo očekával, že budeme znát délku okruhu (dráhu "s").
Anonym Foxocuq01.10.2021 22:26 Nahlásit
Délka okruhu by nás v podstatě nemusela zajímat. Když jako průměrnou rychlost druhého okruhu zvolím nějakou nadzvukovou rychlost, např. 10000km/h pak mi vyjde průměrná rychlost z obou okruhů 7,99 km/h, což se už dá zaokrouhlit :-). Na první pohled to zadání vypadá rozumně, ale když to chcete propočítat, vyklube se z toho taková blbost :-)
Anonym Vivuxun02.10.2021 01:46 Nahlásit
> Myslím že tam je nějaká chyba v zadání

Je to známý příklad na paradox. Slyšel jsem to už několikrát v různých obměnách (s koněm, s autem/formulí, ...), ale vždy to byla 2 kola a dvounásobná rychlost.

Většina lidí se to snaží zprůměrovat a diví se správné odpovědi (nekonečno).

Ve skutečnosti se musí počítat s převrácenými hodnotami rychlostí.
Anonym Vivuxun02.10.2021 01:57 Nahlásit
> se musí počítat s převrácenými hodnotami rychlostí

s ... délka okruhu
t1, t2 ... doba oběhu 1. a 2. okruhu
v1, v2 ... rychlost v 1. a 2. okruhu
v ... prům.rychlost z obou okruhů
------------------------------------

v = 2s/(t1+t2)

1/v = (1/2).(t1/s + t2/s)
1/(2v1) = (1/2).(1/v1 + 1/v2)
(1/2).(1/v1) = (1/2).(1/v1 + 1/v2)
1/v1 = 1/v1 + 1/v2
1/v2 = 0
v2 = nekonečno
Cenobita.02.10.2021 03:45 Nahlásit
Aritmetickým průměrem to řešit nejde, ani nesmí. V tomto případě se to musí počítat tzv. harmonickým průměrem. Jediné vysvětlení je, že to má ukázat žákům, že podrobnějším výpočtem to nevede k aritmetickému ale harmonickému průměru.
Anonym Foxocuq02.10.2021 06:47 Nahlásit
Díky za super vlákno! Jen jsem pomáhala řešit příklad do školy. Fyzika je krásná věda!
Anonym Vivuxun02.10.2021 07:44 Nahlásit
Jen pro upřesnění: Celkově se průměrná rychlost zdvojnásobí, když druhé kolo uběhne za NULA sekund. Prostě to už nejde dohnat. Zdá se to logicky jako nesmysl, proto je tato úloha často používána jako ukázka PARADOXu - něčeho, co odporuje logice (selskému rozumu).
Anonym Sotagik02.10.2021 09:47 Nahlásit
Rovněž děkuji za rozbor, nikdy jsem se s tím nesetkal. Můj selský rozum dostal na frak, přesto položím otázku: Proč nelze použít jednoduše aritmetický průměr?
V matematice si nelibuji, nemá význam vysvětlovat od začátku (...a zem se ochladila), jen jestli se moje mozkovna chytí a nějak si to tam "urovná".
Je to na panáka, ale ještě není 10 hodin :)
Anonym Foxocuq02.10.2021 10:54 Nahlásit
Protože pro výpočet průměrné rychlosti se používá tzv. harmonický průměr, ne aritmetický. Je zajímavé uvědomit si (ve zralém věku :) ), že existují různé průměry (aritmetický, geometrický, harmonický...) a správně je použít. Ve fyzice pro 7. třídu ZŠ se průměrná rychlost bere jen okrajem, ale z logiky věci: průměrná rychlost se počítá jako podíl celkové dráhy, uražené za určitou dobu, a celé této doby. Průměrná rychlost se tedy nepočítá jako aritmetický průměr (i když to k tomu samozřejmě svádí), ale jako harmonický průměr. Slovo harmonie znamená soulad. Nejčastější užití má v hudbě. Je zajímavé, že sloveso to harm v angličtině znamená … poškodit :-) Ale to už cituji pana učitele, který ten úkol zadal (dětem...) a díky kterému, můj selský rozum - rovněž dostal na frak!
Hezký den všem :-)
Anonym Sotagik02.10.2021 11:38 Nahlásit
Děkuji za upřesnění, ačkoli se tak necítim, budu už "přestárlý" :)
Pohodlným hledáním informací jsem koukl na Wikipedii a vím, že se to už nedoučím - to byla ta "nezáživná část matematiky" se kterou jsem později nepracoval. Jak se říká: "přišel na psa mráz" a děkuji Ontole (a Ontolákům) za průběžné vzdělávání.
Anonym Sotagik02.10.2021 11:45 Nahlásit
Krásná jazyková vsuvka, musím "selským rozumem" zareagovat (nedalo mi):
"Logicky" to nemůže být slovo anglicke - toaletní papír Harmasan rozhodně nepoškodí ;)
Anonym Vivuxun02.10.2021 12:19 Nahlásit
Ani čtením Wikipedie (i anglické) se mi nepodařilo nějak jednoduše pochopit smysl harmonického průměru.

Tuším, že cesta by mohla být v tomto popisu, ale nedaří se mi se tím logicky prokousat:

"The mean is subcontrary, which we call harmonic, when three terms are in proportion such that, by whatever part of itself the first term exceeds the second, by that part of the third the middle term exceeds the third"

https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_means#History

Tedy pro aritm.průměr h čísel a,b pak platí:
a - h = k.a
h - c = k.c (nebo "c-k.a" nebo "k.a.c" ??)
Anonym Foxocuq02.10.2021 12:43 Nahlásit
Ovšem ta definice... nemá chybu! Rozklikla jsem si ten odkaz, nepochopila jsem z toho zhola nic, ale poučila jsem se, že problematiku harmonického průměru studovali "již staří Pythagorejci"...
Ale etymologii aplikovanou na exaktní vědy mám ráda, metafora slov, ať v živých (biologie) či neživých (fyzika) systémech je vždycky zajímavá a podnětná. Mistr v tomto je dle mého Richard Dawkins (nejen), u nás to brilantně uměl Zdeněk Neubauer.
Anonym Sotagik02.10.2021 12:50 Nahlásit
@Vivuxun: ano, jsem si všeho vědom :)
Harmanec, Harmanecké jeskyně; vyhořelá fabrika 1988 (nedostatek na trhu),...
Sanus = zdraví. To je i název hotelu v rekreační oblasti Dubník u Staré Turé, známá podnikem Chirana.

Moje poslední reakce v tomto vláknu a ještě jednou všem děkuji za informace.
Anonym Xuxygis02.10.2021 15:50 Nahlásit
Myslím, že to jen těžko někdo mohl myslet vážně, že anglické harm nebo slovenská vesnička Harmanec mají něco společného s řeckým ἀρμονία (spojení, svázání). Hádám, že to byl vtip.

Jinak se mi moc nezdá, že má harmonický průměr něco společného s čistým laděním, jak tvrdí wikipedie. Souvisí to s harmonickou řadou, která může vypadat třeba 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 atd.

V našem případě by vzorec pro výpočet harmonického průměru vypadal obdobně jako aritmetický, jen s dosazenými převrácenými hodnotami:
1/8=(1/4+1/x)/2

Je tomu tak proto, že průměrujeme podle času, tedy podle jmenovatele ve zlomku rychlosti. Pokud poběžíte stejný ČAS rychlostí 10 km/h a pak 8 km/h, bude průměr intuitivně 9 km/h. Pokud byste těmito rychlostmi běželi stejnou DRÁHU, bude průměrná rychlost jen 8,47 km/h.

Zná to každý motorista, pokud vás brzdí omezené rychlosti nebo průjezdy obcemi, je velmi těžké dosáhnout slušného průměru, i když mimo obce jedete dost rychle. Bez použití dálnice dosáhnout průměr nad 70km/h už vyžaduje úsilí.
Přidat komentář do diskuze ▾