Volný povrch vody v nádobě sahá do výšky h.Do jaké vzdálenosti dopadá voda z otvoru, který je ve výšce y nad dnem nádoby? V jaké výšce y1musí být otvor v nádobě, aby vodní proud dopadal do maximální vzdálenosti při stálé výšce h volného povrchu vody?
nevím si rady s druhou otázkou
vzdálenost = d = 2•√y(h-y)
vzdálenost = d = 2•√y(h-y)
Odpovědi
Diskuze
Ep=m*g*h
Ek=1/2 * m * v²
Ep=Ek
m*g*h = 1/2 * m * v²
g*h = 1/2 * v²
2*g*h = v²
v=√(2*g*h); Torricelliho vzorec
https://cs.wikipedia.org/wiki/Torricelliho_vzorec
https://cs.wikipedia.org/wiki/V%C3%BDtok_otvorem
---
Pokud je otvor vzdálený 'y' od dna, pak vzorec vypadá takto:
v=√(2*g*(h-y))
Kapalina padá volným pádem a dopadne do vzdálenosti:
Příklad č. 9
https://www.priklady.eu/cs/fyzika/mechanika-kapalin/hydrodynamika.alej
y=1/2*g*t²; volný pád
2*y/g=t²
s=v*t
d=s
d=√(2*g*(h-y))*√(2*y/g)
d=2*√((h-y)*y)
d=2*√((h-y)*y)
==============
d=max.
0=d(d)/dy=2*1/2 * 1/√((h-y)*y) * (h - 2y)
0=1/√((h-y)*y) * (h - 2y)
0=(h-2y)/√(hy-y^2)
y=1/2 * h
https://www.wolframalpha.com/input?i=0%3D%28h-2y%29%2F%E2%88%9A%28hy-y%5E2%29
maximální hodnota d(max) bude kdy bude y=1/2*h
y=h/2
d=2*√((h-y)*y)
d=2*√((h-h/2)*h/2)
d=2*√((h/2)*h/2)
d=h
===
> vzdálenost = d = 2•√y(h-y)
Máš funkci d(y) = 2√(hy - y^2) a hledáš její maximum na intervalu <0;h>
Takže 1.derivace: d' = 2.(1/2).(hy-y^2)^(-1/2).(h-2y) = (h-2y)/√(hy-y^2)
extrém funkce nastává pro d' = 0 :
h-2y = 0
y = h/2
Je to maximum, minimum nebo inflexní bod? -> 2.derivace:
d'' = [ -2.√(hy-y^2) - (h-2y).(1/2).(hy-y^2)^(-1/2).(h-2y) ] / (hy-y^2)
d''(h/2) = [ -2.√((h^2)/2-(h^2)/4) - 0 ] / ((h^2)/2-(h^2)/4)
d''(h/2) = -2.(nějaké_nezajímavé_kladné_číslo)
d''(h/2) < 0 a proto v bodě h/2 je MAXIMUM.
Funkce d (délka dopadu) bude mít největší hodnotu pro y=h/2.
> 0=d(d)/dy=2*1/2 * 1/√((h-y)*y) * (h * y)
To máš nějak divně zderivované (to h*y na konci)
Navíc vykresluješ wolframem jiný graf - v čitateli ti tam chybí "x" (pro h=1):
https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+2*%E2%88%9A%28%281-x%29*x%29%2C+2x*%E2%88%9A%28%281-x%29*x%29+for+x%3D0+..+1
Viděl bys, že ti vychází úplná blbost.
Omlouvám se, plácám úplný blbosti. Nějak jsem si myslel, že se vykresluje ta derivace. :-(
Tak ta funkce vzdálenosti tedy ještě jednou:
https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+2%E2%80%A2%E2%88%9A%28y%28h-y%29%29+for+y%3D0+..+h
D = 4hy-4y²
D' = 4h-8y = 0 -> y = h/2
D'' = -8<0 -> maximum
Pokud tazatel třeba ještě nezná derivace, obejde se bez nich:
Grafem funkce D = 4hy-4y² v kartézských souřadnicích (y,D) je 'zdola otevřená' parabola, D tudíž nabývá maximální hodnoty v jejím vrcholu. Jeho souřadnice lze najít jednoduše úpravou její rovnice na tzv. kanonický tvar.
0=(h-2y)/√(hy-y^2)
0=(h-y)/√((h-y)*y) - y/√((h-y)*y)
0=√( (h-y) / y ) - √( y/(h-y) )
(h-y) / y = y/(h-y)
h/y - 1 = 1/( h/y - 1)
( h/y - 1)*( h/y - 1) = 1
( h/y - 1) = 1
h/y = 2
y=h/2
=====
Výpočet na 3 kraťoučké řádky? Děláš si znáš legraci? Proč mi nikdo tuhle fintu nikdy neřekl? Takových derivací odmocnin, které jsem zbytečně v životě spočítal ... Smekám před znalostmi.
> Grafem funkce D = 4hy-4y² v kartézských souřadnicích (y,D) je 'zdola otevřená' parabola, D tudíž nabývá maximální hodnoty v jejím vrcholu. Jeho souřadnice lze najít jednoduše úpravou její rovnice na tzv. kanonický tvar.
D = 4hy-4y² = -4.(y^2-hy) = -4.[(y-h/2)^2 - (h^2)/4]
D - h^2 = -4.[(y-h/2)^2
Vrchol v bodě [h/2; h^2]
Vyšla maximální délka h^2, protože jsme nepočítali funkci d, ale D = d^2.
To musí být snad ten nejsložitější způsob, který jsem kdy viděl, jak zjistit, kdy je ten zlomek nulový. Přitom stačí řešit, kdy čitatel zlomku je nulový.