Příklad z fyziky, Archimédův zákon
V nádobě tvaru krychle o délce vnitřní hrany 10 cm je voda. Ve vodě plave loďka tvaru krychle o délce jedné hrany 5 cm. Hmotnost loďky je 25 g. Tloušťku stěny loďky zanedbejte. V loďce je olověné závaží tvaru krychle o délce jedné hrany 2 cm. Hustota olova je 11 250 kg/m3. O kolik mm se zvýší nebo sníží hladina vody v nádobě v případě, že olověné závaží vyndáme z loďky a vhodíme do vody v nádobě?
Odpovědi
Diskuze
1. stav - loďka plave s olověným nákladem
-------
ρ(voda)=1000 kg/m3
m(loďka)=25 g = 0,025 kg
a=2cm = 0,02m; hrana olověné krychle
b=10cm = 0,1m; hrana vnější nádoby
S=b*b; plocha dna nádoby
V(vytlačené)=S*∆h; objem vytlačené kapaliny (zde vody)
m(Pb)=ρ(Pb)*V(Pb); hmotnost nákladu (Pb=olovo)
V(Pb)=a*a*a=a³=(0,02)³ m3
Archimédův zákon: Ft=Fv
Ft=m(Pb)*g + m(loďka)*g; tíha loďky a nákladu
Fv=ρ(voda)*V(vytlačené); vztlaková síla (Archimédův zákon)
Ft=Fv
m(Pb)*g + m(loďka)*g=ρ(voda)*V(vytlačené)*g
ρ(Pb)*a³ + m(loďka)=ρ(voda)*S*∆h
ρ(Pb)*a³ + m(loďka)=ρ(voda)*b²*∆h
∆h = ( ρ(Pb)*a³ + m(loďka) ) / ( ρ(voda)*b² )
∆h (1. stav) = ( 11250*0,02y3 + 0,025 ) / ( 1000*0,1@ )=0,0115 m = 11,5 mm
===
2. stav - loďka plave bez nákladu, který je ponořen v nádrži
V(vytlačené)=S*∆h1; objem vytlačené kapaliny (zde vody)
Archimédův zákon: Ft=Fv
Ft=m(loďka)*g; tíha loďky bez nákladu
Fv=ρ(voda)*V(vytlačené); vztlaková síla (Archimédův zákon)
Ft=Fv
m(loďka)*g=ρ(voda)*V(vytlačené)*g
m(loďka)=ρ(voda)*S*∆h1
m(loďka)=ρ(voda)*b²*∆h1
∆h1 = m(loďka) / ( ρ(voda)*b² )
===
Objem olova:
V(Pb)=a*a*a=a³=(0,02)³ m3
Objem olova zvýší hladinu o:
∆h2 = V(Pb)/S
S=b*b; plocha dna nádoby
∆h2 = V(Pb)/(b²)
celová výška hladiny:
∆h=∆h1 + ∆h2
∆h=m(loďka)/(ρ(voda)*b²) + V(Pb)/b²
∆h=m(loďka)/(ρ(voda)*b²) + a³/b²
∆h=(0,025/1000 + 0,02y3)/0,1@=0,0033 m = 3,3 mm
∆h (2. stav) = 3,3 mm
===
Příspěvek: Vypočítal jsem, že v prvním případě (loďka s nákladem) vytlačí loďka sloupec vody do výšky: 14,3 cm a ve druhém (loďka s bez nákladu s potopeným nákladem) případě vytlačí loďka sloupec vody do výšky: 1,5 cm
Z rozdílů hodnot 11,5-3,3=8,2 plyne, že hladina poklesne o 8,2 mm