Správný vztah pro okamžité zrychlení harmonického pohybu
Prosím o pomoc s příkladem, který se tady už jednou řešil, nicméně nebyl doopravdy vysvětlen.
Těleso vykoná při harmonickém pohybu 5 kmitů za 4 s. Jeho maximální výchylka je 4 cm, v čase t = 0 je výchylka nulová. Nalezněte správný vztah pro velikost okamžitého zrychlení "a" tělesa v závislosti na čase "t" (v m . s na -2):
- správná odpověď: a(t)= -0,25 . π.π . sin (5π.t/2)
Jakým způsobem dostanu z maximální výchylku hodnotu -0,25?
Díky.
Těleso vykoná při harmonickém pohybu 5 kmitů za 4 s. Jeho maximální výchylka je 4 cm, v čase t = 0 je výchylka nulová. Nalezněte správný vztah pro velikost okamžitého zrychlení "a" tělesa v závislosti na čase "t" (v m . s na -2):
- správná odpověď: a(t)= -0,25 . π.π . sin (5π.t/2)
Jakým způsobem dostanu z maximální výchylku hodnotu -0,25?
Díky.
Odpovědi
Diskuze
ω - úhlová rychlost
T - perioda
f - frekvence
A - amplituda
x(t) - poloha (v metrech)
v=x'(t) - rychlost (v metrech/sec)
a=x''(t) - zrychlení (v m/s2)
x(t) = A * sin (ωt + φ)
φ = 0 (pro tento příklad)
ω = 2π/T
f=1/T
1. derivace dráhy podle času je rychlost
2. derivace dráhy podle času je zrychlení
x'(t) = A * ω * cos (ωt)
x''(t) = -A * ω * ω * sin (ωt)
dosadíme:
A=4 cm = 4/100 = 0,04 m
f=5 kmitů/4sec
ω = 2π/T = 2π*f = 2π*5/4=5π/2 rad/sec
a=x''(t) = -4/100 * 5π/2 * 5π/2 * sin (5π/2*t)
a=x''(t) = -0,25 * π * π * sin (5π/2*t)
=======================================
"1. derivace dráhy podle času je rychlost
2. derivace dráhy podle času je zrychlení
x'(t) = A * ω * cos (ωt)
x''(t) = -A * ω * ω * sin (ωt)"
Díky.
v=Δs/t
Zrychlení je pak změnou rychlosti za jednotku času:
a=Δv/t (pro rovnoměrný pohyb se už nemění v, takže Δv=0, a=0)
Pokud se nám tedy pohyb nemění, derivace nepotřebujeme, vystačíme se zlomky (Δ značí změnu veličiny během času t). Pokud je však poloha závislá na čase nějak nelineárně, nebude rychlost a zrychlení konstantou, budu se také měnit v čase. Nejdou tedy zapsat číslem, ale jedině zase funkcí. A postup, který vytváří k původní funkci funkci novou, která má tu vlastnost, že má v každém okamžiku hodnotu odpovídající rychlosti změny (sklonu) původní funkce, nazýváme derivování, derivace.
Třeba funkce sin(t) začíná v nule, kde má největší strmost (=1), stoupá k maximu, kde je vodorovná (strmost neboli derivace=0), pak začne klesat a pří průchodu vodorovnou osou je zase nejstrmější klesající (-1), v záporném maximu je zase vodorovná (=0) a tak pořád dokola. Pokud bychom to analyzovali, zjistíme, že rychlost změny sinusovky nám přesně vyjadřuje kosinusovka (platí pro zadávání hodnot v radiánech na vodorovné ose).
Jestliže tedy poloha závisí na sinu času, bude rychlost i zrychlení mít harmonický (tzn. sinusový, cosinusový průběh). Mění-li poloha v čase podle harmonické funkce (třeba kmitající závaží na pružině), je i závislost rychlosti na čase a zrychlení na čase harmonickou funkcí.
Bez znalostí derivování se to nedá analyzovat a vypočítat.
1. derivace dráhy podle času je rychlost
2. derivace dráhy podle času je zrychlení
v = x'(t)
a = x''(t)
U jednoduchých pohybů je možné znát vzorce zpaměti, ale u méně obvyklých a obecných pohybů je potřeba fyzikální a matematická analýza. V matematice se provádí tzv. "analýza průběhu funkce" - je to vlastně obdobné, analýzou průběhu funkce pohybu zjistíme informace o rychlosti, zrychlení a případně rifu.