Komplexní čísla - matematika
Dobrý den,
nevím si rady s tímto příkladem. Zkouším se dostat ke správnému výsledku, ale vždy se zaseknu někde "uprostřed". Příklad patří mezi komplexní čísla. Jeho znění je : (-^3 + i)^21. Byla bych hodně ráda, za nějakou radu nebo nastínění tím správným směrem ke správnému výpočtu.
Děkuji mnohokrát.
nevím si rady s tímto příkladem. Zkouším se dostat ke správnému výsledku, ale vždy se zaseknu někde "uprostřed". Příklad patří mezi komplexní čísla. Jeho znění je : (-^3 + i)^21. Byla bych hodně ráda, za nějakou radu nebo nastínění tím správným směrem ke správnému výpočtu.
Děkuji mnohokrát.
Odpovědi
Diskuze
(cos(x) + i*sin(x))^n = (cos(n*x) + i*sin(n*x))
http://cs.wikipedia.org/wiki/Moivreova_v%C4%9Bta
a tento řeší násobení stejných komplexních čísel mezi sebou (umocnění). Jedinou podmínkou je převod komplexního čísla do jeho geometrického tvaru. Což není tak složité.
např:
(3 + i)^21
komplexní číslo v algebraickém tvaru (3 + i) převedu na geometrický tvar komplexního čísla:
http://cs.wikipedia.org/wiki/Komplexn%C3%AD_%C4%8D%C3%ADslo
Z=(a + i*b) = |Z|*(cos(x) + i*sin(x))
|Z|=(a*a + b*b)^(1/2)
|Z|=2
|Z|=(a*a + b*b)^(1/2)
|Z|=(3*3 + 1*1)^(1/2)
|Z|=(10)^(1/2)
(10)^(1/2)=(3 + 1)^(1/2)*cos(x); cos(x)=2
cos(x)=a/|Z|=3 / (10)^(1/2)
sin(x)=b/|Z|=1 / (10)^(1/2)
cos(21*x)=cos(21*arccos(a/|Z|=3 / (10)^(1/2)))
sin(21*x)=sin(21*arcsin(b/|Z|=1 / (10)^(1/2)))
umocním:
(cos(x) + i*sin(x))^n = (cos(n*x) + i*sin(n*x))
(3 + i)^21 = cos(21*arccos(a/|Z|=3 / (10)^(1/2))) + i*sin(21*arcsin(b/|Z|=1 / (10)^(1/2)))
PS: Eulerův vzorec:
http://cs.wikipedia.org/wiki/Euler%C5%AFv_vzorec
e^(i*x) = cos(x) + i*sin(x)
My jsme to treba znacili jinak