Nevíte někdo jak vypočítat tento příklad?
Radioaktivita daného izotopu podaného do těla pacienta byla 10 hodin po podání 80
MBq, 20 hodin po podání již byla jen 10 MBq. Jaká bude aktivita daného radioizotopu
25 hodin po podání?
MBq, 20 hodin po podání již byla jen 10 MBq. Jaká bude aktivita daného radioizotopu
25 hodin po podání?
Odpovědi
Diskuze
Poločas rozpadu
-------------------------------------------------------------------------------
Radioaktivita daného izotopu podaného do těla pacienta byla 10 hodin po podání 80 MBq,
20 hodin po podání již byla jen 10 MBq.
Jaká bude aktivita daného radioizotopu 25 hodin po podání?
---
Abychom mohli řešit úlohy s radioaktivním rozpadem, musíme znát konstantu, která se nazývá poločas rozpadu T½, ta v zadání není.
Zadáno:
T0=0;A0=?
T1=10h;A1=80 MBq
T2=20h;A2=10 MBq
T3=25h;A3=?
Z uvedeného je vidět že neznáme A0 ani λ ani T½
Potřebné vzorce, rozpadová rovnice:
T=T½
ln(2)=λ*T
A=A0*e^(-λ*t)
A=A0*e^(-ln(2)*t/T)
dosadíme:
T1=10h;A1=80 MBq
A1=A0*e^(-ln(2)*t1/T)
80=A0*e^(-ln(2)*10/T)
T2=20h;A2=10 MBq
A2=A0*e^(-ln(2)*t2/T)
10=A0*e^(-ln(2)*20/T)
dostáváme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých A0, T:
80=A0*e^(-ln(2)*10/T)
10=A0*e^(-ln(2)*20/T)
vydělíme rovnice:
80/10=A0*e^(-ln(2)*10/T) / A0*e^(-ln(2)*20/T)
8=e^( (-ln(2)*10/T) - (-ln(2)*20/T) )
8=e^( (ln(2)*20/T) - (ln(2)*10/T) )
ln(8)/ln(2)=(10/T)
T=10*ln(2)/ln(8)
T=10*ln(2)/ln(2^3)
T=10*ln(2)/(3*ln(2))
T½=T=10/3 hod (už známe poločas rozpadu)
---
ještě potřebujeme A0, takže:
10=A0*e^(-ln(2)*20/T)
10=A0*e^(-ln(2)*20/(10/3))
10=A0*e^(-ln(2)*6)
10=A0*e^(-ln(2^6))
10=A0*e^(ln(2^-6))
10=A0*(1/64)
A0=640
---
Takže odpověď na otázku v zadání je :
T3=25h;A3=?
A3=A0*e^(-ln(2)*t3/T)
A3=640*e^(-ln(2)*25/(10/3))
A3=640*e^(ln(2)*10/75)
A3=640*e^(ln(2)*2/15)
A3=640*e^(ln(2^(2/15)))
A3=640*2^(2/15)=640*2^(2/15)=5/√2
A3=5/√2 MBq
A3=3.5355339059327376220042218105242451964241796884423701 MBq
=============
-------------------------------------------------------------------------------
A=A0*e^(-ln(2)*t/T)
A0=640*e^(-ln(2)*00/(10/3))=640 MBq
A1=640*e^(-ln(2)*10/(10/3))=80 MBq
A2=640*e^(-ln(2)*20/(10/3))=10 MBq
A3=640*e^(-ln(2)*25/(10/3))=5/√2 MBq
Je vidět že všechny kontroly odpovídají zadání, takže je vše OK.
v čase t=t je aktivita A=8*10^13 = 8e13
v čase t=T½=T a pak musí platit že A(T)=A(t)/2
dosadíme:
A=A0*e^(-ln(2)*t/T)
A/2=A0*e^(-ln(2)*T/T)
A/2=A0*e^(-ln(2))
A/2=A0*e^(ln(1/2))
A/2=A0*(1/2)
A=A0
====
A0=8*10^13 = 8e13
=================
Z toho plyne, že výchozí aktivita v čase t může být libovolná, můžeme ji zjistit měřením a stanovit, v zadání je A=8*10^13 = 8e13 = A0. Z toho již lze graf sestavit, protože známe poločas rozpadu T½.
A=A0*e^(-ln(2)*t/T)
===================