aktivita radioaktivní látky
Proč ve vzorci radioaktivní látky klesá aktivita jako funkce času exponenciálně?
Odpovědi
Diskuze
růst lze vyjádřit:
n0=1*n0
n1=2*n0
n2=2*n1
n3=2*n2
n1=2*n0
n2=2*2*n0
n3=2*2*2*n0
n(n)=2^n * n0 (rovnice růstu je exponenciální)
n(n)=2^-n * n0 (rovnice poklesu je také exponenciální)
vhodnými upravami lze rovnici vyjádřit pomocí přirozeného logaritmu:
n(n)=e^ln(2^-n) * n0
n(n)=e^-n*ln(2) * n0
n=t/T½
n(t)=e^-t/T½*ln(2) * n0
λ = ln(2)/T½
n(t)=n0 * e^(-t*λ)
==================
Pokles nebo růst je exponenciální, když se původní hodnota mění geometrickou řadou - za pevnou jednotku času se nezmění "o něco" (to by byla aritmetická řada a lineární pokles/růst), ale "krát něco". To je vlastně to, co kolega exaktně dokazuje v minulém příspěvku s tím kamenem úrazu :-).
No a u té radioaktivity se ví, že za dobu poločasu rozpadu se rozpadne cca polovina jader, tj. aktivita je poloviční, tj. "krát 0.5", tj. geometrická řada, tj. exponenciální pokles. A to je ten důvod.
ln(x^n) = n*ln(x)
ln(e)=1
e^ln(x)=x
ln(e^x)=x
ln(e^x)=x*ln(e)=x
a^x=e^ln(a^x)=x*e^ln(a)
například: y=sin(sin(x)) je funkce sinus s vnitřní funkcí sinus
z=ln(x) (vnitřní funkce je logaritmus)
y=e^z (vnější funkce je exponenciální)
->
y=e^ln(x)=x
->
y=x
y=x (zlogaritmuji obě strany rovnice)
ln(y)=ln(x) (převedu logaritmus z levé strany na pravou pomocí inverzní funkce tak je k logaritmu funkce exponenciální)
y=e^ln(x)
OK ?