Úloha z přijímaček CERMAT pro osmiletá gymnázia

Zadání: Na kruhové autodráze jezdila v sousedních drahách dvě autíčka, první autíčko ve vnitřní
dráze, druhé ve vnější dráze.
Obě autíčka startovala současně z jedné startovní čáry a jezdila stejným směrem.
První autíčko ujelo každá 4 kola za stejnou dobu, za kterou ujelo druhé autíčko 3 kola.
Během jízdy autíčka neměnila svou rychlost.

a) První autíčko ujelo prvních 10 kol.
Určete, kolikrát během této jízdy dostihlo druhé autíčko.

b) Druhé autíčko ujelo prvních 50 kol.
Určete, kolikrát ho během této jízdy dostihlo první autíčko.


Úloha je celkem snadná, autíčka se potkají vždy po 3 kolech rychlejšího nebo 4 kolech pomalejšího, takže a) je 2x a b) je 16x.



1. Moje otázka ale je jiná, jak dokázat, že se autíčka potkají jen po těch 3 nebo 4 kolech, že se nepotkají dřív?

Doplňkové otázky:
2. Kdyby to třeba bylo, že jedno ujede 3 kola za 7 kol toho druhého, jak často se budou potkávat?

3. A obecně, jak u zadání "rychlejší ujede A kol za B kol pomalejšího" vyjádřit četnost potkávání?