Jaderná fyzika
Izotop s poločasem rozpadu 12,5 roků má dnes aktivitu 25 kBq. Jakou měl aktivitu ke stejnému dní v roce 1965?
Odpovědi
Diskuze
T=2016-1965=51 let
λ=ln(2)/T½
n = n0*e^(−λt)
n = n0*e^(−(ln(2)/T½)*t)
n/n0 = n0*e^(−(ln(2)*t/T½))
A/A0 = n0*e^(−(ln(2)*t/T½))
A=25 kBq
A0=?
A/(n0*e^(−(ln(2)*t/T½))) = A0
25/e^(−(ln(2)*51/12,5)) = A0
25/((-(2N*51/12,5))iN)=422,80721622455214979979768563445
A0=422,8 kBq
============
V roce 1965 byla aktivita izotopu 422,8 kBq
Poločas rozpadu probíhá nějak takto:
A0 - aktivita v čase t=0
A0/2 - aktivita v čase t=T½
A0/4 - aktivita v čase t=2*T½
A0/8 - aktivita v čase t=4*T½
A0/16 - aktivita v čase t=8*T½
což je možné zobecnit:
A=A0/( 2^(t/T½) )
Je patrné že jde o exponenciální funkci se základem 2, je výhodné udělat úpravu tak aby se počítalo s jiným základem (který umožňují kalkulačky), proto se vzorec upraví.
Z uvedených postupů se dá odvodit exponenciální rovnice při základu 2, a tato se převádí na exponenciální rovnici o jiném vhodném základu, zde se používá e - základ přirozených logaritmů:
A=A0/( 2^(t/T½) )
A=A0*( 2^(-t/T½) )
ln(A/A0) = (-t/T½)*ln(2)
A = A0*e^(-ln(2)*t/T½))
je to jen jednoduchá matematika:
n = n0*e^(−(ln(2)/T½)*t)
viz
https://cs.wikipedia.org/wiki/Polo%C4%8Das_p%C5%99em%C4%9Bny
https://cs.wikipedia.org/wiki/Radioaktivita
Selským rozumem:
Současnou aktivitu (2016) označíme A, původní (1965) A0, poločas rozpadu P.
Od roku 1965 do dneška (2016) uplynul čas T = 51 let. To je jasné, že? :-)
Za tu dobu uplynuly cca 4 poločasy rozpadu: T/P = 51/12,5 = 4,08.
S každým poločasem rozpadu se aktivita sníží na polovinu, celkově je tedy současná jen ½^4.08 = 0,0591 z té původní.
Takže A0 = A / 0,0591 = 423 kBq
Obecný vztah: A0 = A / (½ ^ (T/P))
A to lze jistě napsat ještě hezčeji: A0 = A * (2 ^ (T/P))
P.S.: slovo "hezčeji" mi připadá hrozně divné, ale příručka ho nabízí (http://prirucka.ujc.cas.cz/?slovo=hezky), tak jsem to zkusil