Proč je integrál opakem derivace?

Anonym Hyjinap19.08.2019 18:01 Nahlásit
Jak to tak vyšlo, že prostředek pro určení plochy pod křivkou je opakem prostředku pro určení tečny ke křivce? Jak to spolu souvisí, jak to, že jedno je opakem druhého?

Odpovědi

Přidat odpověď ▾

Diskuze

Cenobita.19.08.2019 20:20 (Upr. 20.08.2019 09:11) Nahlásit
Jde o opačnou operaci k nějaké operaci. Ke sčítání je opačná operace odčítání, k násobení je opačná operace dělení. K umocňování je opačná operace odmocňování. apod.

"K integrování je opačná operace derivování."

https://cs.wikipedia.org/wiki/Primitivn%C3%AD_funkce


Integrál je plocha pod křivkou - to vychází z geometrického významu integrálu.

Derivace je dána směrnicí tečny ke křivce v daném bodě - to vychází z geometrického významu derivace.

Zjednodušeně řečeno: ke každé funkci f(x) je možné integrací najít tzv. primitivní funkci F(x). Slovo primitivní neznamená "zaostalý", ale znamená "prvotní, počáteční", ve smyslu jít k nějakým kořenům, k počátkům, tedy něco jako "základní funkci", ale protože i tu je možné integrovat, nepoužívá se označení "základní" ale "primitivní".

http://prirucka.ujc.cas.cz/?slovo=primitivn%C3%AD

Opakem integrace je derivace f(x) = F'(x) = dF(x)/dx

https://www.youtube.com/watch?v=JWYovPw8CMQ
Anonym Fenoxel20.08.2019 09:49 Nahlásit
Tady nejde o definice integrálu a derivace, ale o důsledky těchto definic - jak to, "že prostředek pro určení plochy pod křivkou je opakem prostředku pro určení tečny ke křivce?", jak to, že te tím opakem je zrovna tohle a ne něco jiného?
Soudruh_K20.08.2019 11:59 (Upr. 20.08.2019 12:00) Nahlásit
Upozorňuji, že o diferenciálním a integrálním počtu vím jen z doslechu, ale snad tak nějak tuším, k čemu slouží. Derivace ti vlastně říká, jak rychle se mění daná funkce, integrál ti zase dává součet těch funkčních hodnot v nějakém rozsahu. Pokud budeme mít třeba nějakou jednoduchou přímku f(x)=x, tak funkční hodnoty vypadají jako 1, 2, 3, 4, 5, 6 atd. Derivace by vypadala jako 1, 1, 1, 1, 1, 1 atd. (vždy se f. hodnota zvýší o jednu). No a pokud tyto hodnoty hodnoty sesčítáš (integruješ) do toho nějakého místa, opět získáš 1, 2, 3, 4, 5, 6 atd., což je vlastně původní funkce.

Určitě to není úplně správně, je to jen hrubý náčrt pro představu, protože jsem to nikdy bohužel nestudoval. Ale snad to trochu přiblíží, co je tím "opakem".
Cenobita.20.08.2019 14:12 (Upr. 20.08.2019 15:52) Nahlásit
Anonym Fenoxel: To plyne z geometrických definic:

a) Integrací funkce: f(x)

v mezích na intervalu <a,b> dochází ke sčítání nekonečně malých obdélníčků pod grafem funkce f(x) s šířkou dx a výškou f(x) Plocha jednoho obdélníčku je pak: dS=f(x)*dx

integrací v intervalu je to pak celá plocha: S = ∫ f(x)*dx

b) Pokud se sestrojí sečka ke grafu funkce f(x) ve dvou různých bodech:a,b , její směrnice je: k = ( f(a)-f(b) ) / (a-b) Pokud použijeme limit a budeme: b přibližovat k: a (nebo naopak)

lim b→a ( f(a)-f(b) ) / (a-b) = lim ∆x→0 ∆f(x)/∆x

pak sečna přejde v tečnu v bodě: a (nebo: b) a směrnice v bode k(a) bude tečnou ke grafu funkce f(x) a současně bude derivací funkce, protože k=df(x)/dx

---

Jinak už to vysvětlit neumím, je to jako ptát se proč je den opakem noci - prostě je to tak, tak jsou pojmenovány.
Anonym Qowijuw19.11.2020 17:39 Nahlásit
Je to trochu jinak:
1. mějme funkci f(x)
2. dále mějme funkci A, kterou vypočítáme plochu pod touto funkcí f(x)
3. Pokud k ploše pro daný bod x (tj A(x)) přidáme malý kousek h plocha pod fcí v bodě x+h bude A(x+h) potom v bodě x+h bude hodnota fce (A(x+h) - A(x))/h a to už vypadá na definici derivace a říká, že derivací funkce kterou spočítáme plochu je funkce křivky pod kterou plochu počítáme. Proto je integrál opak derivace. Derivací funkce "pro plochu" získáme původní funkci, pro kterou plochu počítame.
Anonym Palupog19.11.2020 19:33 Nahlásit
Já bych jen pro pořádek připomněl, že plocha pod křivkou se počítá určitým, Riemanovým integrálem.

Pokud hovoříme o primitivní funkci, máme na mysli obvykle neurčitý integrál, který nemá ony integrační meze, ale zase má ve výsledku obecnou konstantu. To proto, že výsledek derivace je vždy tentýž, když posunujeme funkci nahoru nebo dolu. Primitivních funkcí k jakékoli integrovatelné funkci je tedy nekonečně mnoho.
Anonym Palupog19.11.2020 19:42 Nahlásit
Ještě pro připomenutí - primitivní funkce nevyjadřuje plochu, tu počítáme tak, že do primitivní fce nejdřív dosadíme horní mez. Totéž uděláme pro dolní mez. Výsledky od sebe odečteme (tím se de facto zbavíme těch protivných konstant - odečtou se při tom).
Přidat komentář do diskuze ▾