Matematická olympiáda kategorie Z9 61.ročník soutěže 2011/12

Dobrý den, mohl bych poprosit o pomoc s matematickou olympiádou? Nevíte alespoň některý příklad? Pár jich mám, ale nejsem si jistý..

Z9–I–1
Pokladní v galerii prodává návštěvníkům vstupenky s číslem podle toho, kolikátí
ten den přišli. První návštěvník dostane vstupenku s číslem 1, druhý s číslem 2, atd.
Během dne však došel žlutý papír, na který se vstupenky tiskly, proto musela pokladní
pokračovat tisknutím na papír červený. Za celý den prodala stejně žlutých vstupenek
jako červených. Zjistila, že součet čísel na žlutých vstupenkách byl o 1 681 menší než
součet čísel na červených vstupenkách. Kolik toho dne prodala vstupenek?

Z9–I–2
Filoména má mobil s následujícím rozmístěním tlačítek:
0
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Devítimístné telefonní číslo její nejlepší kamarádky Kunhuty má tyto vlastnosti:
• všechny číslice Kunhutina telefonního čísla jsou různé,
• první čtyři číslice jsou seřazeny podle velikosti od nejmenší po největší a středy
jejich tlačítek tvoří čtverec,
• středy tlačítek posledních čtyř číslic také tvoří čtverec,
• telefonní číslo je dělitelné třemi a pěti.
Kolik různých devítimístných čísel by mohlo být Kunhutiným telefonním číslem?

Z9–I–3
Amálka pozorovala veverky na zahrádce hájenky, kde rostly tyto tři stromy: smrk,
buk a jedle. Veverky seděly v klidu na stromech, takže je mohla spočítat — bylo jich
34. Když přeskákalo 7 veverek ze smrku na buk, bylo jich na buku stejně jako na obou
dvou jehličnanech dohromady. Poté ještě přeskákalo 5 veverek z jedle na buk, v tu chvíli
bylo na jedli stejně veverek jako na smrku. Na buku jich poté bylo dvakrát tolik, co na
jedli ze začátku. Kolik veverek původně sedělo na každém ze stromů?

Z9–I–4
V pravidelném dvanáctiúhelníku ABCDEFGHIJKL vepsaném do kružnice o po-
loměru 6 cm určete obvod pětiúhelníku ACFHK.
A B
C
D
E
F
H G
I
J
K
L

Z9–I–5
Před vánočním koncertem nabízeli žáci k prodeji 60 výrobků z hodin výtvarné
výchovy. Cenu si mohl každý zákazník určit sám a celý výtěžek šel na dobročinné účely.
Na začátku koncertu žáci spočítali, kolik korun v průměru utržili za jeden prodaný
výrobek, a vyšlo jim přesně celé číslo. Protože stále neprodali všech 60 výrobků, nabízeli
je i po koncertě. To si lidé koupili ještě dalších sedm, za které dali celkem 2 505 Kč. Tím
se průměrná tržba za jeden prodaný výrobek zvýšila na rovných 130 Kč. Kolik výrobků
pak zůstalo neprodaných?

Z9–I–6
V obdélníkové zahradě roste broskvoň. Tento strom je od dvou sousedních rohů
zahrady vzdálen 5 metrů a 12 metrů a vzdálenost mezi zmíněnými dvěma rohy je 13
metrů. Dále víme, že broskvoň stojí na úhlopříčce zahrady. Jak velká může být plocha
zahrady?