Existuje JEDEN ostrov COOK, nebo jen súostroví Cookovi ostrovi?

1. Cookovi>Cookovy (dle vzoru: matčinY ostrovy)

(ve slovenštině to může být ovšem gramaticky jinak)

2. existuje souostroví: Cookovy ostrovy

https://cs.wikipedia.org/wiki/Cookovy_ostrovy

3. nejspíš se žádný ostrov cook nejmenuje

4. Rarotonga, je hlavní ostrov souostroví Cookovy ostrovy