Objem jednodílného hyperboloidu
Potřebuju zjistit objem jednodílného hyperboloidu(v litrech)jehož průměr ve spod je 300mm nahoře 220mm a v místě největšího zúžení 140mm,výška 710mm.Existuje I na toto nějaká rovnice?
Odpovědi
Diskuze
Jednodílný (rotační) hyperboloid je kvadrika - plocha druhého stupně.
Použije se jednoduchý integrál, v zadání to sice není řečeno, ale předpokládám, že je rotační.
http://cs.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid
http://cs.wikipedia.org/wiki/Kvadrika
Jednodílný hyperboloid je popsán rovnicí:
x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1
Jednodílný hyperboloid pro: a=b je rotační:
x²/a² + y²/a² - z²/c² = 1
výpočet objemu tělesa:
V=∫ dV
V=∫ S(z)*dz
V=∫ π*R²(z)*dz
řezy v ose: z, u jednodílného rotačního hyperboloidu jsou kružnice, musí tedy platit:
x² + y² = R²; kde R=R(z), je funkcí třetí souřadnice: z
porovnáním rovnice kružnice a jednodílného rotačního hyperboloidu dostanu:
x²/a² + y²/a² = 1 + z²/c²
x² + y² = a² + z²*a²/c²
x² + y² = a²*(1 + z²/c²)
R²(z) = a²*(1 + z²/c²) /// závislost poloměru kružnice na souřadnici: z; mimochodem je to rovnice hyperboly, odtud název této kvadriky
---------------------
dosadím do integrálu a pak už stačí integrovat v mezích daných zadáním:
V=∫ π*a²*(1 + z²/c²)*dz
integrace je velmi jednoduchá:
V=[π*a²*(z + z³/3c²)] + C
dosazením integračních mezí z1 a z2 získáváme kýžený vzorec pro výpočet objemu libovolného rotačního hyperboloidu:
V=π*a²*[ (z2 + z2³/3c²) - (z1 + z1³/3c²) ]
V=π*a²*[ (z2-z1) + (z2³/3c² - z1³/3c²) ]
===========================================
nyní stačí dosadit do:
V=π*a²*[ (z2-z1) + (z2³/3c² - z1³/3c²) ]
konstanty:
a=140mm
z2-z1=710 mm
r1=220 mm
r2=300 mm
konstantu c vypočítáme ze vztahu:
R²(z) = a²*(1 + z²/c²)
300² = 140²*(1 + z2²/c²)
220² = 140²*(1 + z1²/c²)
z2-z1=710
√(c²*(300/140)² -1) - √(c²*(220/140)² -1) = 710
c*√((300/140)² -1) - c*√((220/140)² -1) = 710
c = 710/√((300/140)² -1) - c*√((220/140)² -1)
... a pak už se to jen dosadí a numericky vypočítá, rozměr objemu bude mm3.
V případě, kdyby se vlivem integrace počítalo v záporných hodnotách, může objem vyjít záporně, ale tento se pak musí považovat za absolutní hodnotu, jinými slovy i záporný objem je správně, jen záleží na integrační cestě.
V=|V|
2. Nic se nebude počítat numericky. Tohle je MATEMATIKA, ne přiblblá technika. Výsledek musí být přesný! Ale to Cenobita nikdy nepochopí, je našprtán dosazování na kalkulačku.