Geometrická posloupnost
Dobrý večer,
nevím si vůbec rady s níže uvedenými příklady na geometrické posloupnosti. Mohli byste mi, prosím, poradit. Za odpovědi předem děkuji :-)
1) Tři čísla, která tvoří GP, mají součet 39 a součin 1000. Které číslo je z nich nejmenší?
2) V GP, která je tvořena po sobě jdoucími mocninami čísla 3, platí a8 = 3 na desátou. Jaký je součet prvních 5 členů této posloupnosti?
Ještě jednou moc děkuji.
nevím si vůbec rady s níže uvedenými příklady na geometrické posloupnosti. Mohli byste mi, prosím, poradit. Za odpovědi předem děkuji :-)
1) Tři čísla, která tvoří GP, mají součet 39 a součin 1000. Které číslo je z nich nejmenší?
2) V GP, která je tvořena po sobě jdoucími mocninami čísla 3, platí a8 = 3 na desátou. Jaký je součet prvních 5 členů této posloupnosti?
Ještě jednou moc děkuji.
Odpovědi
Diskuze
Tři čísla z geometrické posloupnosti budou vypadat nějak takhle: c, cq, cq²
Z taktických důvodů (kvůli tomu součinu) bude ale lepší, když prosté c dáme doprostřed a předchozí člen získáme dělením: c/q, c, cq.
Pak ten součin je c/q * c * cq = 1000 (to q se nám pěkně vykrátí, proto ta "finta" na začátku) a máme rovnou
c³ = 1000 takže
c = 10 - prostřední číslo už známe.
A pak ten součet:
c/q + c + cq = 39 vydělíme c, tj. 10
1/q + 1 + q = 3,9 vynásobíme q (aby zmizel ten zlomek)
1 + q + q² = 3,9q
q² - 2,9q +1 = 0
No a tohle už je lehký, ne?
(vyjde q1=2.5 a q2=0.4, což vede k týmž číslům, jen v opačném pořadí).
Takže když a8 = 3^10, tak a7 = 3^9, a6 = 3^8, a tak dále až do úplného zblbnutí :-)
Až si to všechno vypíšeš, tak prostě a1 až a5 sečteš, tj. 3^3 + 3^4 + ...
Toť vše, vždycky musíš tyhle věci řešit kousek po kousku. Nějak si shrnout a zapsat, co je v zadání. A od toho, co je zřejmé ze zadání, se po krůčcích propracovávat tím směrem, kde tušíš výsledek. Je ovšem pravda, že to tušení může být někdy docela mlhavé :-) Život je pes...