Integrál
U integrálu 1/ 1+cos(x) mě nic nenapadá, jedině substituci, ale newím jakou. Díky za radu.
Odpovědi
Diskuze
cos(x) = cos²(x/2) - sin²(x/2)
∫ 1/( 1 + cos²(x/2) - sin²(x/2) ) dx =
∫ 1/( 2cos²(x/2)) dx =
1/2 * ∫ 1/( cos²(x/2)) dx =
= tan(x/2) + C
==============
Pywafere, řešení by mělo vypadat nějak takto:
Daná funkce f je definovaná a spojitá v R kromě bodů pi+2.k.pi, kde k je libovolné celé číslo; její definiční obor označme D. Jednu z jejích primitivních funkcí označme F (existuje díky spojitosti f); pak pro všechna x z D je:
F(x) = I 1/(1+cos(x)) dx = I 1/(1+cos^2(x/2)-sin^2(x/2)) dx = I 1/(2.cos^2(x/2)) dx
Substitucí y=x/2, dy=dx/2 dostaneme
F(y) = I 1/cos^2(y)) dy = tg(y) ,
takže
F(x) = tg(x/2) .
Každá primitivní funkce k f je proto tvaru
G(x) = F(x) + C(x)
pro všechna x z D, kde C je libovolná funkce, konstantní v každém z intervalů, na něž se rozpadá D.
Pywafere, všechny mnou napsané věty jsou nedílnou a neodmyslitelnou součástí řešení, nestačí načmárat formální pomocné počty. Právě ty "doprovodné" texty jsou totiž vlastním řešením, jsou důkazem správnosti formálních počtů, jsou zápisem toho, jak normální člověk přemýšlí, když "počítá".
Cenobito, jsi vůbec schopen pochopit, jakou lží (!!!) je to tvoje našprtané "C"??? Primitivní funkce k funkci definované ve sjednocení disjunktních intervalů nejsou navzájem posunuty o konstantu (!!!), v každém z intervalů definičního oboru lze posouvat o jinou (!!!) konstantu. Proto je to nutné popsat pomocí funkcí (!!!) C po částech konstantních!!!
Vždyť příslušná věta říká: "Jsou-li F, G primitivní funkce k funkci f v intervalu I, pak F-G je konstantní v I."
V intervalu, Cenobito, v intervalu!!! Ty jsi schopen se jenom našprtat "obrázek" F+C, ale vůbec nechápeš, co to má znamenat. Nauč se pořádně věty, Cenobito, celé (!!!) věty, nejen šprtavé vzorce, jsi-li toho vůbec schopen. A do té doby, když něco neumíš, tak se do toho nepleť a neblbni tazatele svými lžemi!!!
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB+1%2F(+1+%2B+cos(x)+)+dx