Lokální extrém funkce v bodě, který nemá derivaci
Dobrý den, vyšetřuji průběh spojité funkce, o které díky dostupným nástrojům na vykreslování grafů vím, že má v jistém bodě jedno z lokálních minim. V tomto bodě ale daná funkce nemá definovanou žádnou derivaci kvůli podmínkám řešitelnosti zavedeným při výpočtu derivace (objevila by se 0 ve jmenovateli), nemůžu tedy hypotézu ohledně existence lokálního minima matematicky dokázat žádným způsobem, který znám.
Mohl by mi někdo poradit, jaký jiný aparát na ukázání existence lokálního extrému se v tomto případě dá použít?
Pro ilustraci ještě dodám, že jde o takový "špičatý extrém", který logicky derivaci mít nemůže, protože by tam nemohla být tečna.
Mohl by mi někdo poradit, jaký jiný aparát na ukázání existence lokálního extrému se v tomto případě dá použít?
Pro ilustraci ještě dodám, že jde o takový "špičatý extrém", který logicky derivaci mít nemůže, protože by tam nemohla být tečna.
Odpovědi
Diskuze
jde o funkci (x^3 + x^2)^(1/3), tedy třetí odmocnina z (x na třetí plus x na druhou).
Bod [0,0] sice existuje, mělo by to být lokální minimum, ale v tom bodě není derivace, nemůžu tedy ukázat, že by byla nulová, jak se to u lokálních extrémů dělá.
1. BOD nikdy nemá derivací, napsat "bod nemá derivaci" znamená, že se odmítáš cokoli učit a plácáš matematicky negramotné zrůdnosti!!! FUNKCE v nějakém bodě má nebo nemá derivaci. NAUČ SE DEFINICI DERIVACE!!!
2. NAUČ SE VĚTU "nutná podmínka pro lokální extrém"!!! Ty ses jen tupě našprtal jakýsi FALEŠNÝ (!!!) postup (že se extrémy vyšetřují pomocí nulové derivace, což je SPROSTÁ LEŽ). NAUČ SE ONU VĚTU a pak ti bude jasné, že UVNITŔ svého definičního oboru funkce může mít extrémy jedině v bodech, v nichž je její derivace nulové, NEBO v bodech, v nichž její derivace neexistuje. JAKÝ extrém v tom či onom bodu je (a je-li tam vůbec nějaký), to hravě zjistíš z vyšetření monotonie funkce - např. když v levém okolí bodu funkce roste a v pravém okolí bodu taky roste, extrém tam evidentně není; když vlevo roste a vpravo klesá, je tam zajisté lokální maximum; apod.
3. Má-li definiční obor funkce nějaké krajní body, samozřejmě v nich může být extrém, protože výše zmíněná věta o těchto bodech nic neříká. Zda tam je extrém a jaký, to zase zjistíš z monotonie.
Jak vidíš u funkce i u její derivace MUSÍŠ BEZPODMÍNEČNĚ začít zjištěním jejich definičních oborů!!!
y'= 1/3*(x^3 + x^2)^(1/3 - 1) * (3x^2 + 2x)
y'= 1/3*(x^3 + x^2)^(-2/3) * (3x^2 + 2x)
y'= 1/3 *(3x^2 + 2x) / (x^3 + x^2)^(2/3)
(x->0) lim y'(0) = 0/0; použijeme L'Hospitalovo pravidlo pro určení limity
(x->0) lim y'(0) =
1/3 *(6x + 2) / (2/3)*(x^3 + x^2)^(2/3 - 1) * (3x^2 + 2x) =
1/3 *(6x + 2) / (2/3)*(x^3 + x^2)^(-1/3) * (3x^2 + 2x) =
1/3 *(6x + 2)*(x^3 + x^2)^(1/3) / (2/3) * (3x^2 + 2x) =
1/3 *(6x + 2)*x*(1 + 1/x)^(1/3) / (2/3) * x*(3x + 2) =
1/3 *(6x + 2)*(1 + 1/x)^(1/3) / (2/3) * (3x + 2) =
1/3 *(6*0 + 2)*(1 + 1/0)^(1/3) / (2/3) * (3*0 + 2) =
2/3 *(1 + 1/0)^(1/3) / (4/3) = ∞
Tady limita existuje: proto platí y'(0)=∞
===
Bod [0,0] ovšem není ani lokálním minimem ani lokálním maximem, je to bod nespojitosti funkce.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D(x%5E3+%2B+x%5E2)%5E(1%2F3)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(+(x%5E3+%2B+x%5E2)%5E(1%2F3)+)%27
náhodně jsem narazil na toto prastaré téma z dob, kdy jsem byl ještě Anonym Wydygiz, a po opětovném přečtení musím zpětně uznat, že Anonym Qamalyl měl ve všem naprostou pravdu, když mě tu vyplísnil. I když si to tedy asi nepřečtete, chci vám tímto poděkovat, že jste mě donutil si problematiku nastudovat hlouběji. S masivním zpožděním děkuji i za Cenobitovu poslední odpověď, asi jsem ji tehdy přehlédl. Jen když jsem to teď počítal, vyšlo mi, že v bodě 0 limita opravdu není (zleva mi vyšla minus nekonečno, zprava plus nekonečno), ale to už je jedno.