Ontola > diskuze
| Nahlásit

Kombinatorika - kontrola

Dobrý den, přátelé, mohu Vás poprosit o kontrolu? Děkuji. Máme dvě kostky. Jaká je pravděpodobnost, že na obou padne liché číslo? Postupovala jsem takto: Na první kostce padne jednička, na další k tomu padne jednička, trojka, nebo pětka. Na první kostce padne trojka, k tomu padne buď jednička, trojka, nebo pětka. Na první kostce padne pětka, k tomu padne na druhé kostce buď jednička, trojka, nebo pětka. To je devět možností. Celkově padne 36 možností, pravděpodobnost je tedy 25%.

další příklad:
Je 6 studentek a 4 studenti, mezi nimi žák A a žákyně B. Studenti losují tříčlennou skupinu. Jaká je pravděpodobnost, že mezi vylosovanými bude A nebo B?
Celkem je tedy 120 možností.
Vybereme si studenta A. K němu poté další dva lide z devíti zbývajících. Vybereme studentku B a k ní opět další dva lidi z devíti zbývajících. Poté vyberu oba. K nim vyberu jednoho člověka ze zbylých osmi.
Číselně: 2*(9 nad 2) + 8 = 80. 80:120 = 0,666. To si nemyslím, že je dobře.

Moc děkuji za kontrolu.
Témata: Nezařazené

8 reakcí

| Nahlásit
1. příklad.
V pořádku? Nebo také:

Pravděp. lichého čísla na jedné kostce =
= 3/6 = 1/2.

Současně na dvou kostkách = (1/2)² = 1/4 = 25 %
(Upr. 17.01. 20:25) | Nahlásit
Přeji pěkné odpoledne, Anonyme Zutixowe,

co se týče prvního příkladu, postupujete správně. Formálněji bych to uvedl třeba takto:

Mějme náhodný pokus hodu šestistěnnou kostkou, na níž padne každé číslo se stejnou pravděpodobností. Základový prostor (tedy množina všech výsledků náhodného pokusu) je Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Pokud chcete, aby na jedné kostce padlo liché číslo, musí padnout jedno číslo z množiny příznivých jevů A = {1, 3, 5}.
Pokud hodíte jednou kostkou, bude pravděpodobnost jevu, že padne liché číslo, rovna podílu mohutnosti množiny příznivé tomuto jevu a množiny základového prostoru, tedy p = |A|/|Ω | = 3/6 = 1/2.
Hážeme dvěma kostkami, přičemž to, že na kostce padne liché číslo, je jev zcela nezávislý na čísle, které padne na druhé kostce. Můžeme tedy využít výpočet pravděpodobnosti nezávislých jevů.
p_1 je pravděpodobnost, že na první kostce padne liché číslo, p_2 je pravděpodobnost, že na druhé kostce padne liché číslo, pravděpodobnost, že tyto nezávislé jevy nastanou současně, je tedy p_1 * p_2 = (|A|/|Ω |) * (|A|/|Ω |) = (1/2) * (1/2) = 1/4.
Pravděpodobnost tohoto jevu je 1/4.

Co se týče dalšího příkladu, řešil bych ho následovně.

Mějme množinu všech studentů S = {A, D2, D3, D4, D5, D6, B, H2, H3, H4}. (D značí dívku, H hocha, označení je zde jen ilustrativní).
Základový prostor losování tříčlenných skupin bude následující: Ω = {{a, b, c}|a,b,c € S ∧ a ≠ b ≠ c}. Jedná se o množinu množin právě kvůli tomu, že nezáleží na pořadí prvků. Mohutnost množiny Ω je |Ω| = nCr(|S|,3), kde nCr(a,b) značí kombinační číslo a nad b, |S| = 10.
Příznivý jev je takový, že ve vybrané skupině se nachází jen student A, jen student B nebo oba.
Využijeme principu inkluze a exkluze, tedy najdeme mohutnost množiny A_i (množina takových jevů, kdy student A je ve skupině), obdobně množinu B_i a AB_i (oba jsou ve skupině).
Dle principu inkluze a exkluze jistě platí, že |A_i| + |B_i| - |AB_i| je počet takových skupin, v nichž se vyskytuje alespoň jeden ze studentů A a B.
Jak vypočítáme množství skupin, v níchž může určitě bude student A? Víme, že ze zbylých devíti studentů tam budou určitě dva, tedy počet skupin, v nichž je člen A, je |A_i| = nCr(1,1)*nCr(9,2). Totéž platí pro |B_i|, počet skupin, v nichž bude osoba B. Co se týče počtu skupin s oběma členy, analogicky řešíme |AB_i| = nCr(2,2)*nCr(8,1).
Pravděpodobnost, že ve skupině bude alespoň jeden ze studentů A a B je tedy p = (|A_i| + |B_i| - |AB_i|)/|Ω| = (nCr(9,2) + nCr(9,2) - nCr(8,1))/nCr(10,3) = 8/15.

Je to všechno jasné? Pokud ne, určitě se ještě zeptejte na doplňující dotaz.
| Nahlásit
Oprava - 1. příklad. V pořádku.
| Nahlásit
@Anonym Zutixow - ještě dodám k 2. příkladu:

N = počet studentů z {A,B} ve vybrané trojici (náhodná proměnná)
P(N > 0) = ?

Podle mě Váš postup nadhodnocuje počty příznivých případů o 16 případů, kdy jsou v trojici A i B. Myslím, že je možno jej upravit takto:

Studentku B neberme v úvahu.  Ke studentovi A přidejme další dva lidi z osmi zbývajících ~ 28 možností (a žádný případ [A i B]).
Studenta A neberme v úvahu. Ke studentce B  přidejme další dva lidi z osmi zbývajících ~ 28 možností (a žádný případ [A i B]).
Vyberme  A i B a k nim jednoho ze zbývajících osmi ~ 8 možností.

Pak P(N > 0) = 64/120 = 8/15 shodně s výsledkem kolegy Wydygize.
| Nahlásit
A ještě mě napadlo: Výpočty pravděpodobnosti se často zjednoduší a zprůhlední, lze li provést výpočet pomocí doplňkového jevu. To je myslím i případ příkladu č. 2. Použijme stejné označení jako v odpovědi výše.

Máme-li spočítat P(N > 0), můžeme využít toho, že

P(N > 0) + P(N = 0) = 1 (jistý jev, jedna z uvedených vylučujících se možností musí nastat), takže

P(N > 0) = 1 - P(N = 0) = 1 - C(8 , 2)/120

což hned vede k výsledku 8/15.
| Nahlásit
Přeji pěkný večer, Anonyme Mirorume,

uznávám, že výpočet pomocí doplňkového jevu je velice elegantní řešení! Vůbec jsem na to při řešení nepomyslel. Děkuji tedy i za tento pohled na výpočet.
| Nahlásit
Pardon, ještě překlep, má být


P(N > 0) = 1 - P(N = 0) = 1 - C(8 , 3)/120
| Nahlásit
@Wydigyz: Mě to napadlo až dodatečně.
 Anonym
Odpovídat lze i bez registrace. Dodržujte pravidla Ontoly
Vložit: Obrázek