soustava rovnic - neekvivalentní úprava pomocí původních nealterovaných řádků

Dobrý den,

když řeším soustavu rovnic, gausovou eliminační metodou, a chtěl bych si čistě teoreticky předtim nějak rovnice poupravit a udelal bych tento krok: v soustavě rovnic bych přičetl např k prvnímu(a) řádku řádek druhý(b) a dostal bych upravený první řádek(a´), mohl bych si poté od řádku druhého(b) odečíst řádek první nikoliv ovšem ten upravený(a´) ale ten původní již neexistující neupravený řádek(a) a "paralelně ho takto využít zpět", počítal jsem na to mnoho příkladů kde se tato úvaha jevila jako správná, protože jsme vždy došli ke stejnému řešení jako když bychom použivali pouze alterované řádky. Nicméně stále platí fakt, že taková výše popsaná soustava nikdy nebude existovat protože jakmile upravým řádek první, původní nealterovaný přestane existovat a musím pracovat pouze s jeho upravenou verzí, protože pokud bych použil původní řádek(a to je pouze můj názor), matici kterou bych tím vytvořil by již nebyla ekvivalentní s tou původní, přestože nemění množinu řešení soustavy rovnic.

projistotu to přepíši ještě numericky :

původní soustava :první rovnice: a+b=c, druhá rovnice: x+y=z [k prvnímu řádku přičítám druhý a od druhého odčítám prvním ovšem nikoliv alterovaný ale ten původní netknutý který nám už z nabídky soustavy zmizel]

Po úpravách dostanu tedy první rov:(a+x)+(b+y)=c+z, druhá rov: (x-a)+(y-b)=z-c,

poté, když si z toho sestavím matice, zůstavá otázkou zdali je tedy ekvivalentní si takto paralelně volat nějaké původní zaniklé nealterované řádky, zdali to náhodou nemení řešení matice.
Vím že tento krok který který popisuji je absolutně zbytečný a člověk si tím přidává spíše práci místo toho aby začal rovnou efektivně eliminovat a převádět na schodovitý tvar. Já se ale tento problém táži hlavně z matematického hlediska a vím že nemá smysl toto v praxi využívat. Pouze mě zajímá zdali tato provedená úprava je ekvivalentní a zachovává řešení rovnice, nebo se jedná pouze o jakýsi heurestický přístup který nám sice zachová správné řešení ale čistě z matemitkcého hlediska je nesprávný. Třebas něco podobné jako když v diferencialních rovnicích a integrací substitucí pracujeme s dy/dx jako se zlomky a také se tváříme že je vše ok. Nutno podoknout ještě k tomu zpětnému využívání původních nealterovaných řádků že jsem si to tolik neověřoval na příkladech kde by vycházelo nekonečně mnoho řešení, tedy nějaké obecné parametrické řešení. Je možné že zde bychom mohli dostat třeba nějaké jiné řešení. Mým názorem tedy zůstává že použít např. v 10.kroku gausovy eliminační metody nějaký původní nealterovaný řádek není ekvivalentní, i přesto že dostaneme stejné řešení soustavy rovnic.

Jestli je někdo ochotný mi poskytnout vysvětlení a říci mi zdali uvažuji správně, nebo je výše zmíněný postup naprosto v pořádku, budu rád když se podělí o své zkušenosti a názor. Děkuji a přeji Vám hezký den
PS: pokud je pro přehlednost třeba, mohu zkusit nějaký takový příklad s oběma postupy vyfotit a zaslat
S pozdravem Petr